ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 5 Номер 965 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Докажите, что уравнение
\[
\sqrt[4]{2x — 3} — 5x = \sqrt[4]{27 — 18x} — 7.5
\]
имеет единственный корень, и найдите его.

Уравнение имеет один корень:
\[
\sqrt[4]{2x — 3} — 5x = \sqrt[4]{27 — 18x} — 7.5;
\]

1) Область определения:

\[
2x — 3 \geq 0, \quad 2x \geq 3, \quad x \geq 1.5;
\]

\[
27 — 18x \geq 0, \quad 18x \leq 27, \quad x \leq 1.5;
\]

2) Есть только один корень:
\[
\sqrt[4]{2 \cdot 1.5 — 3} — 7.5 = \sqrt[4]{27 — 18 \cdot 1.5} — 7.5;
\]

\[
\sqrt[4]{3 — 3} — 7.5 = \sqrt[4]{27 — 27} — 7.5;
\]

\[
0 — 7.5 = 0 — 7.5, \quad -7.5 = -7.5;
\]

Ответ: \(1.5\).

Рассмотрим уравнение:

\( \sqrt[4]{2x — 3} — 5x = \sqrt[4]{27 — 18x} — 7.5 \)

1) Область определения:

Для того чтобы выражения под корнями были действительными, необходимо, чтобы они были неотрицательными.

Первое выражение под корнем: \( 2x — 3 \geq 0 \), что дает:

\( 2x \geq 3 \), а значит, \( x \geq 1.5 \).

Второе выражение под корнем: \( 27 — 18x \geq 0 \), что дает:

\( 18x \leq 27 \), а значит, \( x \leq 1.5 \).

Таким образом, область определения уравнения: \( x \geq 1.5 \) и \( x \leq 1.5 \), что означает, что \( x = 1.5 \).

2) Проверим, что \( x = 1.5 \) является корнем уравнения:

Подставим \( x = 1.5 \) в исходное уравнение:

\( \sqrt[4]{2 \cdot 1.5 — 3} — 7.5 = \sqrt[4]{27 — 18 \cdot 1.5} — 7.5 \)

Вычислим левую и правую часть:

Левая часть:

\( \sqrt[4]{3 — 3} — 7.5 = \sqrt[4]{0} — 7.5 = 0 — 7.5 = -7.5 \)

Правая часть:

\( \sqrt[4]{27 — 27} — 7.5 = \sqrt[4]{0} — 7.5 = 0 — 7.5 = -7.5 \)

Обе части равны: \( -7.5 = -7.5 \), следовательно, \( x = 1.5 \) — это решение уравнения.

Ответ: \( 1.5 \).