ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 5 Номер 956 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Решите неравенство:

а) \( (x^2 — 4)(x + 1)(x — 8) > 0 \);

б) \( \frac{x^3 — 2x^2 + x — 2}{x^2 — 25} \leqslant 0 \).

Решить неравенство:

а)
\[
(x^2 — 4)(x + 1)(x — 8) > 0;
\]

\[
(x + 2)(x + 1)(x — 2)(x — 8) > 0;
\]

\[
x < -2, \, -1 < x < 2, \, x > 8;
\]

Ответ:
\[
(-\infty; -2) \cup (-1; 2) \cup (8; +\infty).
\]

б)
\[
\frac{x^3 — 2x^2 + x — 2}{x^2 — 25} \leq 0;
\]

\[
\frac{x^2(x — 2) + (x — 2)}{x^2 — 25} \leq 0;
\]

\[
\frac{(x + 1)(x — 2)}{(x + 5)(x — 5)} \leq 0;
\]

\[
x < -5, \, 2 \leq x \leq 5;
\]

Ответ:
\[
(-\infty; -5) \cup [2; 5).
\]

а) Решить неравенство:

\[
(x^2 — 4)(x + 1)(x — 8) > 0
\]

Шаг 1: Преобразуем выражение:

\[
(x + 2)(x — 2)(x + 1)(x — 8) > 0.
\]

Шаг 2: Найдем корни выражения, при которых каждый множитель равен нулю:

• Корень от \( x + 2 = 0 \), даёт \( x = -2 \),
• Корень от \( x — 2 = 0 \), даёт \( x = 2 \),
• Корень от \( x + 1 = 0 \), даёт \( x = -1 \),
• Корень от \( x — 8 = 0 \), даёт \( x = 8 \).

Шаг 3: Исследуем знаки на интервалах, используя эти корни. Мы разделим числовую ось на интервалы: \( (-\infty; -2) \), \( (-2; -1) \), \( (-1; 2) \), \( (2; 8) \), \( (8; +\infty) \). Проверим знак на каждом интервале:

• Для \( x < -2 \): все множители положительны, результат положительный;
• Для \( -2 < x < -1 \): один из множителей отрицателен, результат отрицательный;
• Для \( -1 < x < 2 \): два множителя отрицательны, результат положительный;
• Для \( 2 < x < 8 \): два множителя положительны, результат отрицательный;
• Для \( x > 8 \): все множители положительны, результат положительный.

Шаг 4: Ответ: \( (-\infty; -2) \cup (-1; 2) \cup (8; +\infty) \).

б) Решить неравенство:

\[
\frac{x^3 — 2x^2 + x — 2}{x^2 — 25} \leq 0
\]

Шаг 1: Разложим числитель:

\[
x^3 — 2x^2 + x — 2 = x^2(x — 2) + (x — 2) = (x^2 + 1)(x — 2).
\]

Шаг 2: Разложим знаменатель:

\[
x^2 — 25 = (x + 5)(x — 5).
\]

Шаг 3: Получаем следующее неравенство:

\[
\frac{(x^2 + 1)(x — 2)}{(x + 5)(x — 5)} \leq 0.
\]

Шаг 4: Найдем корни выражения:

• Корень от \( x — 2 = 0 \), даёт \( x = 2 \),
• Корень от \( x + 5 = 0 \), даёт \( x = -5 \),
• Корень от \( x — 5 = 0 \), даёт \( x = 5 \).

Шаг 5: Исследуем знаки на интервалах, разделив числовую ось на интервалы: \( (-\infty; -5) \), \( (-5; 2) \), \( (2; 5) \), \( (5; +\infty) \). Проверим знак на каждом интервале:

• Для \( x < -5 \): числитель и знаменатель оба отрицательны, результат отрицательный;
• Для \( -5 < x < 2 \): числитель положителен, знаменатель отрицателен, результат положительный;
• Для \( x > 5 \): числитель и знаменатель оба положительны, результат положительный.

Шаг 6: Ответ: \( (-\infty; -5) \cup [2; 5) \).