ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 5 Номер 935 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Используя графики функций \( y = x^2 \), \( y = x^3 \) и \( y = x^4 \) (см. рис. 101 на с. 224), сравните числа:

a) \( 0.5^{0.52} \) и \( 0.5^{0.53} \);

б) \( 0.5^{0.53} \) и \( 0.5^{0.54} \);

в) \( 1.5^{0.52} \) и \( 1.5^{0.53} \);

г) \( 1.5^{0.53} \) и \( 1.5^{0.54} \).

Сравнить числа:

а) \( 0,5^{\frac{1}{2}} \) и \( 0,5^{\frac{1}{3}}; \)

\( 0,5 < 1, \ \frac{1}{2} > \frac{1}{3}; \)

Ответ: \( 0,5^{\frac{1}{2}} < 0,5^{\frac{1}{3}}. \)

б) \( 0,5^{\frac{1}{3}} \) и \( 0,5^{\frac{1}{4}}; \)
\( 0,5 < 1, \ \frac{1}{3} > \frac{1}{4}; \)
Ответ: \( 0,5^{\frac{1}{3}} < 0,5^{\frac{1}{4}}. \)

в) \( 1,5^{\frac{1}{2}} \) и \( 1,5^{\frac{1}{3}}; \)

\( 1,5 > 1, \ \frac{1}{2} > \frac{1}{3}; \)

Ответ: \( 1,5^{\frac{1}{2}} > 1,5^{\frac{1}{3}}. \)

г) \( 1,5^{\frac{1}{3}} \) и \( 1,5^{\frac{1}{4}}; \)

\( 1,5 > 1, \ \frac{1}{3} > \frac{1}{4}; \)

Ответ: \( 1,5^{\frac{1}{3}} > 1,5^{\frac{1}{4}}. \)

Сравнить числа:

а) \( 0,5^{\frac{1}{2}} \) и \( 0,5^{\frac{1}{3}}; \)

Рассмотрим два числа: \( 0,5^{\frac{1}{2}} \) и \( 0,5^{\frac{1}{3}} \). Число \( 0,5 \) меньше 1, и важный момент заключается в том, что для чисел, меньших 1, чем больше степень, тем меньше будет значение результата. Это связано с тем, что извлечение корня из числа, меньшего 1, всегда даёт число большее, чем само число. Таким образом, когда мы извлекаем квадратный корень из 0,5, результат будет меньше, чем когда мы извлекаем кубический корень, так как степень \( \frac{1}{2} \) больше, чем степень \( \frac{1}{3} \).

Например, квадратный корень из 0,5 равен примерно 0,7071, а кубический корень из 0,5 равен примерно 0,7937. Таким образом, кубический корень из 0,5 даёт большее значение, чем квадратный корень из 0,5, так как степень, при которой извлекается корень, меньше.

Следовательно, \( 0,5^{\frac{1}{2}} \) будет меньше, чем \( 0,5^{\frac{1}{3}} \), так как извлечение квадратного корня из числа меньшего 1 приводит к меньшему результату, чем извлечение кубического корня из этого же числа.

Ответ: \( 0,5^{\frac{1}{2}} < 0,5^{\frac{1}{3}}. \)

б) \( 0,5^{\frac{1}{3}} \) и \( 0,5^{\frac{1}{4}}; \)

Теперь рассмотрим числа \( 0,5^{\frac{1}{3}} \) и \( 0,5^{\frac{1}{4}} \). Опять же, число \( 0,5 \) меньше 1, и мы видим, что степень, под которой извлекаются корни, различна. Степень \( \frac{1}{3} \) больше степени \( \frac{1}{4} \), поэтому извлечение кубического корня из числа 0,5 даёт большее значение, чем извлечение четвёртого корня из того же числа. То есть, чем меньше степень, тем больше будет результат.

Кубический корень из 0,5 равен примерно 0,7937, а четвёртый корень из 0,5 равен примерно 0,8409. Таким образом, четвёртый корень из 0,5 даёт большее значение, чем кубический корень, так как степень в случае извлечения четвёртого корня меньше.

Следовательно, \( 0,5^{\frac{1}{3}} \) будет меньше, чем \( 0,5^{\frac{1}{4}} \), так как извлечение кубического корня из числа меньшего 1 приводит к меньшему результату, чем извлечение четвёртого корня из того же числа.

Ответ: \( 0,5^{\frac{1}{3}} < 0,5^{\frac{1}{4}}. \)

в) \( 1,5^{\frac{1}{2}} \) и \( 1,5^{\frac{1}{3}}; \)

Теперь перейдём к числам \( 1,5^{\frac{1}{2}} \) и \( 1,5^{\frac{1}{3}} \). В данном случае \( 1,5 \) больше 1, и это важно, потому что для чисел, которые больше 1, чем больше степень, тем больше будет результат. Это объясняется тем, что для чисел больше 1 извлечение корня увеличивает значение, и чем меньше дробная степень, тем больше результат.

Для чисел больше 1 квадратный корень даёт больший результат, чем кубический корень. Например, квадратный корень из 1,5 равен примерно 1,2247, а кубический корень из 1,5 равен примерно 1,1447. Таким образом, извлечение квадратного корня из 1,5 даёт большее число, чем извлечение кубического корня.

Следовательно, \( 1,5^{\frac{1}{2}} \) будет больше, чем \( 1,5^{\frac{1}{3}} \), так как извлечение квадратного корня из числа большего 1 приводит к большему результату, чем извлечение кубического корня из того же числа.

Ответ: \( 1,5^{\frac{1}{2}} > 1,5^{\frac{1}{3}}. \)

г) \( 1,5^{\frac{1}{3}} \) и \( 1,5^{\frac{1}{4}}; \)

И наконец, давайте сравним числа \( 1,5^{\frac{1}{3}} \) и \( 1,5^{\frac{1}{4}} \). Число \( 1,5 \) больше 1, и для чисел больше 1 извлечение корня приводит к увеличению значения. Поскольку \( \frac{1}{3} > \frac{1}{4} \), кубический корень из 1,5 будет больше, чем четвёртый корень из 1,5. Это также объясняется тем, что для чисел больше 1 результат возрастает с увеличением степени.

Например, кубический корень из 1,5 равен примерно 1,1447, а четвёртый корень из 1,5 равен примерно 1,1067. Таким образом, кубический корень из 1,5 даёт большее значение, чем четвёртый корень из 1,5.

Следовательно, \( 1,5^{\frac{1}{3}} \) будет больше, чем \( 1,5^{\frac{1}{4}} \), так как извлечение кубического корня из числа большего 1 даёт большее значение, чем извлечение четвёртого корня из того же числа.

Ответ: \( 1,5^{\frac{1}{3}} > 1,5^{\frac{1}{4}}. \)