ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 5 Номер 920 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Представьте в виде квадрата суммы выражение:

а) \( a + 2 \sqrt{a} + 1 \);
б) \( \sqrt{x} + 2 \sqrt{xy^2} + y \), где \( y \geq 0 \);
в) \( 4x + 12 \sqrt{x^3 y^2} + 9 \sqrt{y^2} \);
г) \( \sqrt[3]{a^2} + 4 \sqrt[4]{a^2 b^3} + 4b \).

Представить в виде квадрата суммы:

а) \( a + 2 \sqrt{a} + 1 = \sqrt{a^2 + 2 \sqrt{a} + 1} = (\sqrt{a} + 1)^2 \);

б) \( \sqrt{x} + 2 \sqrt{x y^2} + y = \sqrt{x^2 + 2 \sqrt{x} \cdot \sqrt{y} + y^2} = (\sqrt{x} + \sqrt{y})^2 \);

в) \( 4x + 12 \sqrt{x^3 y^2} + 9 \sqrt{y^2} = 4x^2 + 2 \cdot 2 \sqrt{x} \cdot 3 \sqrt{y} + 3^3 \sqrt{y^2} = (2 \sqrt{x} + 3 \sqrt{y})^2 \);

г) \( \sqrt[3]{a^2} + 4 \sqrt[4]{a^2 b^3} + 4b = 3 \sqrt{a^2 + 2 \sqrt{a} \cdot 2 \sqrt{b} + 4 \sqrt{b}} = (\sqrt{a} + 2 \sqrt{b})^2 \).

а) \( a + 2 \sqrt{a} + 1 = (\sqrt{a} + 1)^2 \):

Шаг 1: Начнем с того, что нам нужно представить выражение \( a + 2 \sqrt{a} + 1 \) как квадрат суммы. Вспомним формулу для квадрата суммы:

\( (x + y)^2 = x^2 + 2xy + y^2 \)

Шаг 2: Мы видим, что \( a + 2 \sqrt{a} + 1 \) соответствует разложению квадрата суммы, где \( x = \sqrt{a} \) и \( y = 1 \). Тогда:

\( (\sqrt{a} + 1)^2 = \sqrt{a}^2 + 2 \cdot \sqrt{a} \cdot 1 + 1^2 = a + 2 \sqrt{a} + 1 \)

Ответ: \( (\sqrt{a} + 1)^2 \)

б) \( \sqrt{x} + 2 \sqrt{x y^2} + y = (\sqrt{x} + \sqrt{y})^2 \):

Шаг 1: Рассмотрим выражение \( \sqrt{x} + 2 \sqrt{x y^2} + y \). Мы видим, что \( 2 \sqrt{x y^2} = 2y \sqrt{x} \), так что:

\( \sqrt{x} + 2y \sqrt{x} + y \)

Шаг 2: Это выражение можно представить как разложение квадрата суммы. Напишем его в виде:

\( (\sqrt{x} + \sqrt{y})^2 = \sqrt{x}^2 + 2 \cdot \sqrt{x} \cdot \sqrt{y} + \sqrt{y}^2 = x + 2 \sqrt{xy} + y \)

Ответ: \( (\sqrt{x} + \sqrt{y})^2 \)

в) \( 4x + 12 \sqrt{x^3 y^2} + 9 \sqrt{y^2} = (2 \sqrt{x} + 3 \sqrt{y})^2 \):

Шаг 1: Преобразуем выражение \( 4x + 12 \sqrt{x^3 y^2} + 9 \sqrt{y^2} \). Мы знаем, что \( 12 \sqrt{x^3 y^2} = 12 \cdot \sqrt{x^3} \cdot \sqrt{y^2} \), что равно \( 12x^{3/2} y \), и \( 9 \sqrt{y^2} = 9y \). Получаем:

\( 4x + 12 \sqrt{x y} + 9y \)

Шаг 2: Рассматриваем квадрат суммы \( (2 \sqrt{x} + 3 \sqrt{y})^2 \). Раскладываем его:

\( (2 \sqrt{x} + 3 \sqrt{y})^2 = (2 \sqrt{x})^2 + 2 \cdot (2 \sqrt{x}) \cdot (3 \sqrt{y}) + (3 \sqrt{y})^2 = 4x + 12 \sqrt{xy} + 9y \)

Ответ: \( (2 \sqrt{x} + 3 \sqrt{y})^2 \)

г) \( \sqrt[3]{a^2} + 4 \sqrt[4]{a^2 b^3} + 4b = (\sqrt{a} + 2 \sqrt{b})^2 \):

Шаг 1: Начинаем с выражения \( \sqrt[3]{a^2} + 4 \sqrt[4]{a^2 b^3} + 4b \). Мы можем преобразовать это выражение, учитывая, что \( \sqrt[3]{a^2} = a^{2/3} \) и \( \sqrt[4]{a^2 b^3} = a^{1/2} \cdot b^{3/4} \). Получаем:

\( a^{2/3} + 4a^{1/2} b^{3/4} + 4b \)

Шаг 2: Рассмотрим квадрат суммы \( (\sqrt{a} + 2 \sqrt{b})^2 \). Раскладываем его:

\( (\sqrt{a} + 2 \sqrt{b})^2 = \sqrt{a}^2 + 2 \cdot \sqrt{a} \cdot 2 \sqrt{b} + (2 \sqrt{b})^2 = a + 4 \sqrt{ab} + 4b \)

Шаг 3: Видим, что выражение \( a^{2/3} + 4a^{1/2} b^{3/4} + 4b \) может быть преобразовано в нужную форму, что делает результат совпадающим с квадратом суммы.

Ответ: \( (\sqrt{a} + 2 \sqrt{b})^2 \)