ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 5 Номер 907 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Геометрическая прогрессия состоит из четырёх членов. Сумма крайних её членов равна 45, а произведение средних равно 200. Найдите первый член и знаменатель этой прогрессии.

В геометрической прогрессии:

\[
b_1 + b_4 = 45, \, b_2 \cdot b_3 = 200;
\]

1) Из второго равенства:
\[
(b_1 \cdot q) \cdot (b_1 \cdot q^2) = 200;\]

\[b_1^2 q^3 = 200, \, b_1 q^3 = \frac{200}{b_1};
\]

\[
q^3 = \frac{200}{b_1^2}, \, q = \sqrt[3]{\frac{200}{b_1^2}};
\]

2) Из первого равенства:
\[
b_1 + b_1 \cdot q^3 = 45;\]

\[b_1 + \frac{200}{b_1} = 45;\]

\[b_1^2 — 45b_1 + 200 = 0;
\]

\[
D = 45^2 — 4 \cdot 200 = 2025 — 800 = 1225,
\]

тогда:

\[
b_{1,1} = \frac{45 — 35}{2} = 5, \, b_{1,2} = \frac{45 + 35}{2} = 40;
\]

\[
q_1 = \sqrt[3]{\frac{200}{25}} = \sqrt[3]{8} = 2, \, q_2 = \sqrt[3]{\frac{200}{1600}} = \sqrt[3]{\frac{1}{8}} = \frac{1}{2};
\]

Ответ:

\[
b_1 = 5; \, q = 2 \, \text{или} \, b_1 = 40; \, q = \frac{1}{2}.
\]

Задача: В геометрической прогрессии:

\[
b_1 + b_4 = 45, \, b_2 \cdot b_3 = 200;
\]

Шаг 1: Из второго равенства:

\[
(b_1 \cdot q) \cdot (b_1 \cdot q^2) = 200;
\]

Умножаем два соседних члена прогрессии:

\[
b_1^2 q^3 = 200
\]

Теперь выражаем \( b_1 q^3 \):

\[
b_1 q^3 = \frac{200}{b_1}
\]

Далее находим значение \( q^3 \):

\[
q^3 = \frac{200}{b_1^2}, \, q = \sqrt[3]{\frac{200}{b_1^2}};
\]

Шаг 2: Из первого равенства:

\[
b_1 + b_1 \cdot q^3 = 45;
\]

Подставляем значение для \( q^3 \):

\[
b_1 + \frac{200}{b_1} = 45;
\]

Умножаем обе части на \( b_1 \), чтобы избавиться от дроби:

\[
b_1^2 + 200 = 45b_1;
\]

Переносим все члены в одну сторону:

\[
b_1^2 — 45b_1 + 200 = 0;
\]

Теперь решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

\[
D = 45^2 — 4 \cdot 1 \cdot 200 = 2025 — 800 = 1225;
\]

Находим корни уравнения:

\[
b_{1,1} = \frac{45 — 35}{2} = 5, \, b_{1,2} = \frac{45 + 35}{2} = 40;
\]

Теперь находим значения для \( q \):

\[
q_1 = \sqrt[3]{\frac{200}{25}} = \sqrt[3]{8} = 2, \, q_2 = \sqrt[3]{\frac{200}{1600}} = \sqrt[3]{\frac{1}{8}} = \frac{1}{2};
\]

Ответ:

\[
b_1 = 5; \, q = 2 \, \text{или} \, b_1 = 40; \, q = \frac{1}{2}.
\]