ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 5 Номер 906 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Решите систему уравнений:

\[
\begin{cases}
x^2 + y^2 = 2.5xy, \\
x — y = 0.25xy.
\end{cases}
\]

Решить систему уравнений:

\[
\begin{cases}
x^2 + y^2 = 2,5xy, \\
x — y = 0,25xy;
\end{cases}
\]

1) Второе уравнение:
\[
xy = \frac{x — y}{0,25} = 4(x — y);
\]

2) Первое уравнение:
\[
x^2 — 2xy + y^2 = 0,5xy;\]
\[(x — y)^2 = 2(x — y);\]

\[(x — y)((x — y) — 2) = 0;\]

\[x — y = 0, \, x — y — 2 = 0;\]

\[y_1 = x, \, y_2 = x — 2;
\]

3) Первое значение:
\[
x — x = 0,25x \cdot x;\]

\[0,25x^2 = 0, \, x^2 = 0;\]

\[x = 0, \, y = 0;
\]

4) Второе значение:
\[
x — x + 2 = 0,25x(x — 2);\]

\[2 = 0,25x^2 — 0,5x;\]

\[0,25x^2 — 0,5x — 2 = 0;\]

\[x^2 — 2x — 8 = 0;\]

\[D = 2^2 + 4 \cdot 8 = 4 + 32 = 36,
\]

тогда:

\[
x_1 = \frac{2 — 6}{2} = -2, \, x_2 = \frac{2 + 6}{2} = 4;
y_1 = -2 — 2 = -4, \, y_2 = 4 — 2 = 2;
\]

Ответ:
\[
(0; 0), \, (-2; -4), \, (4; 2).
\]

Задание:

Решим систему уравнений:

\[ \begin{cases} x^2 + y^2 = 2,5xy, \\ x — y = 0,25xy; \end{cases} \]

Шаг 1: Из второго уравнения выразим \( xy \):

\[
x — y = 0,25xy \quad \Rightarrow \quad xy = \frac{x — y}{0,25} = 4(x — y).
\]

Теперь подставим это значение для \( xy \) в первое уравнение:

\[ x^2 + y^2 = 10(x — y). \]

Шаг 2: Перепишем уравнение в более удобной форме, используя замену \( z = x — y \):

\[ x^2 + y^2 = 10z, \quad (x — y)^2 = x^2 — 2xy + y^2. \]

Подставляем это в уравнение:

\[ z^2 = 2(x — y). \]

Получаем уравнение:

\[ z(z — 2) = 0. \]

Из этого уравнения следует два решения для \( z \):

\( z = 0 \)

\( z = 2 \)

Шаг 3: Решение для \( z = 0 \):

Если \( z = 0 \), то \( x = y \). Подставляем это в уравнение \( x — y = 0,25xy \):

\[
0 = 0,25x^2.
\]

Это уравнение дает решение \( x = 0 \), и соответственно \( y = 0 \).

Шаг 4: Решение для \( z = 2 \):

Если \( z = 2 \), то \( x — y = 2 \). Подставим это в уравнение \( x — y = 0,25xy \):

\[
2 = 0,25x(x — 2).
\]

Умножим обе стороны на 4:

\[
8 = x(x — 2),
\]

\[
x^2 — 2x — 8 = 0.
\]

Решим это квадратное уравнение:

\[ D = (-2)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-8) = 4 + 32 = 36. \]

Корни уравнения:

\[ x_1 = \frac{2 — 6}{2} = -2, \quad x_2 = \frac{2 + 6}{2} = 4. \]

Для каждого значения \( x \):

Если \( x = -2 \), то \( y = -2 — 2 = -4 \).

Если \( x = 4 \), то \( y = 4 — 2 = 2 \).

Ответ: Таким образом, решения системы:

\( (0; 0) \)

\( (-2; -4) \)

\( (4; 2) \)