ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 5 Номер 891 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Упростите выражение:

\[
\frac{\sqrt{a + x} + \sqrt{a — x}}{\sqrt{a + x} — \sqrt{a — x}} — \frac{\sqrt{a^2 — x^2}}{x}.
\]

Упростить выражение:

\[
\frac{\sqrt{a + x} + \sqrt{a — x}}{\sqrt{a + x} — \sqrt{a — x}} — \frac{\sqrt{a^2 — x^2}}{x} =
\]

\[
\frac{(\sqrt{a + x} + \sqrt{a — x})^2}{(\sqrt{a + x} — \sqrt{a — x})(\sqrt{a + x} + \sqrt{a — x})} — \frac{\sqrt{a^2 — x^2}}{x} =
\]

\[
\frac{(a + x) + 2\sqrt{(a + x)(a — x)} + (a — x)}{a + x — (a — x)} — \frac{\sqrt{a^2 — x^2}}{x} =
\]

\[
\frac{2a + 2\sqrt{a^2 — x^2}}{2x} — \frac{\sqrt{a^2 — x^2}}{x} =
\]

\[
\frac{2a}{2x} = \frac{a}{x}.
\]

Ответ:
\[
\frac{a}{x}.
\]

Задание:

Упростим выражение:

\[
\frac{\sqrt{a + x} + \sqrt{a — x}}{\sqrt{a + x} — \sqrt{a — x}} — \frac{\sqrt{a^2 — x^2}}{x}
\]

Шаг 1: Умножим числитель и знаменатель первой дроби на сопряженное выражение:

\[
\frac{(\sqrt{a + x} + \sqrt{a — x})^2}{(\sqrt{a + x} — \sqrt{a — x})(\sqrt{a + x} + \sqrt{a — x})} — \frac{\sqrt{a^2 — x^2}}{x}
\]

В знаменателе применим формулу разности квадратов:

\[
(\sqrt{a + x})^2 — (\sqrt{a — x})^2 = (a + x) — (a — x) = 2x
\]

Шаг 2: Развернем числитель в первой дроби:

\[
\frac{(a + x) + 2\sqrt{(a + x)(a — x)} + (a — x)}{2x} — \frac{\sqrt{a^2 — x^2}}{x}
\]

Шаг 3: Упростим числитель:

\[
\frac{2a + 2\sqrt{a^2 — x^2}}{2x} — \frac{\sqrt{a^2 — x^2}}{x}
\]

Шаг 4: Выразим дроби с одинаковыми знаменателями:

\[
\frac{2a + 2\sqrt{a^2 — x^2} — \sqrt{a^2 — x^2}}{2x}
\]

Шаг 5: Упростим числитель:

\[
\frac{2a + \sqrt{a^2 — x^2}}{2x}
\]

Шаг 6: Получаем окончательный результат:

\[
\frac{a}{x}
\]

Ответ: \( \frac{a}{x} \)