ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 5 Номер 889 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Найдите сумму всех несократимых дробей со знаменателем 5, принадлежащих промежутку \( [0, 2; 6, 4] \).

В арифметической прогрессии:

\( 0,2 \leq a_n \leq 6,4, \, a_n = \frac{n}{5}, \, n \neq 5k; \)

1) Сумма всех таких дробей:
\[
0,2 \leq \frac{n}{5} \leq 6,4, \, 1 \leq n \leq 32;
\]

\[
a_1 = \frac{1}{5} = 0,2, \, d = \frac{1}{5} = 0,2;
\]

\[
S_{32} = \frac{2a_1 + 31d}{2} \cdot 32;
\]

\[
S_{32} = 16 \cdot (2 \cdot 0,2 + 31 \cdot 0,2);
\]

\[
S_{32} = 16 \cdot (0,4 + 6,2) = 105,6;
\]

2) Сумма несократимых дробей:

\[
S = S_{32} — 7 — 1 — 2 — 3 — 4 — 5 — 6;
\]

\[
S = 105,6 — 6 — 9 — 6 = 84,6;
\]

Ответ: \( 84,6. \)

Задание:

В арифметической прогрессии заданы данные:

• \( 0,2 \leq a_n \leq 6,4 \), \( a_n = \frac{n}{5} \), \( n \neq 5k \)

1) Сумма всех таких дробей:

Рассмотрим неравенство:

\( 0,2 \leq \frac{n}{5} \leq 6,4 \), при этом \( n \neq 5k \). Решим это неравенство для \( n \):

Умножаем неравенство на 5:

\( 1 \leq n \leq 32 \), при этом \( n \) не может быть кратным 5.

Таким образом, \( n \) принимает значения от 1 до 32, за исключением кратных 5.

Шаг 1: Найдем сумму всех значений

Задана формула для прогрессии: \( a_n = \frac{n}{5} \), с \( a_1 = 0,2 \) и разностью \( d = 0,2 \). Мы можем найти сумму всех элементов последовательности на интервале от 1 до 32 (за исключением кратных 5):

Используем формулу для суммы первых \( n \)-ти членов арифметической прогрессии:

\( S_n = \frac{2a_1 + (n-1)d}{2} \cdot n
\)

Подставим \( a_1 = 0,2 \), \( d = 0,2 \) и \( n = 32 \):

\( S_{32} = \frac{2 \cdot 0,2 + 31 \cdot 0,2}{2} \cdot 32 = 16 \cdot (0,4 + 6,2) = 16 \cdot 6,6 = 105,6
\)

2) Сумма несократимых дробей:

Теперь вычитаем из суммы \( S_{32} \) сумму членов, которые являются кратными 5:

Члены прогрессии для \( n = 5, 10, 15, 20, 25, 30 \) являются кратными 5. Для этих значений функции \( a_n = \frac{n}{5} \) значения будут:

\( a_5 = 1, \, a_{10} = 2, \, a_{15} = 3, \, a_{20} = 4, \, a_{25} = 5, \, a_{30} = 6
\)

Теперь вычитаем эти значения из суммы:

\( S = S_{32} — (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6) = 105,6 — 21 = 84,6
\)

Ответ: \( 84,6 \).