ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 5 Номер 888 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Найдите сумму 40 членов арифметической прогрессии \( (a_n) \), если \( a_1 + a_3 + a_5 + a_7 = 36 \) и \( a_{10} = 21 \).

В арифметической прогрессии:

\( a_1 + a_3 + a_5 + a_7 = 36, \, a_{10} = 21; \)

1) Из второго уравнения:
\[
a_1 + 9d = 21, \, a_1 = 21 — 9d;
\]

2) Из первого уравнения:
\[
a_1 + a_1 + 2d + a_1 + 4d + a_1 + 6d = 36;
\]

\[
4a_1 + 12d = 36, \, a_1 + 3d = 9;
\]

\[
21 — 9d + 3d = 9, \, 6d = 12, \, d = 2;
\]

\[
a_1 = 21 — 9 \cdot 2 = 21 — 18 = 3;
\]

3) Сумма первых членов:
\[
S_{40} = \frac{2a_1 + 39d}{2} \cdot 40 = 20 \cdot (2 \cdot 3 + 39 \cdot 2);
\]

\[
S_{40} = 20 \cdot (6 + 78) = 20 \cdot 84 = 1680;
\]

Ответ: \( 1680. \)

Задание:

В арифметической прогрессии заданы уравнения:

• \( a_1 + a_3 + a_5 + a_7 = 36 \)
• \( a_{10} = 21 \)

1) Из второго уравнения:

Для нахождения \( a_1 \) выразим его через \( d \):

\( a_{10} = a_1 + 9d = 21 \quad \Rightarrow \quad a_1 = 21 — 9d;\)

2) Из первого уравнения:

Подставим выражение для \( a_1 \) в первое уравнение:

\( a_1 + a_3 + a_5 + a_7 = 36 \)

Каждое из этих чисел можно выразить через \( a_1 \) и \( d \):

\( a_3 = a_1 + 2d, \, a_5 = a_1 + 4d, \, a_7 = a_1 + 6d
\)

Подставляем все эти выражения в первое уравнение:

\( a_1 + (a_1 + 2d) + (a_1 + 4d) + (a_1 + 6d) = 36
\)

Упростим это уравнение:

\( 4a_1 + 12d = 36, \quad a_1 + 3d = 9
\)

Теперь подставим значение \( a_1 = 21 — 9d \) в это уравнение:

\( 21 — 9d + 3d = 9, \quad 6d = 12, \quad d = 2
\)

Теперь мы знаем, что \( d = 2 \). Подставим это значение в выражение для \( a_1 \):

\( a_1 = 21 — 9 \cdot 2 = 21 — 18 = 3
\)

3) Сумма первых 40 членов:

Используем формулу для суммы первых \( n \) членов арифметической прогрессии:

\( S_n = \frac{2a_1 + (n-1)d}{2} \cdot n
\)

Подставляем \( a_1 = 3 \), \( d = 2 \), и \( n = 40 \):

\( S_{40} = \frac{2 \cdot 3 + (39) \cdot 2}{2} \cdot 40 = 20 \cdot (6 + 78) = 20 \cdot 84 = 1680
\)

Ответ: \( S_{40} = 1680 \).