ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 5 Номер 886 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Докажите, что функции, заданные формулами \( y = \frac{1}{x — 2} \), где \( x > 2 \), и \( y = \frac{2x + 1}{x} \), где \( x > 0 \), являются взаимно обратными функциями.

Даны две функции:
\[
y = \frac{1}{x — 2}, \, x > 2;
\]

\[
y = \frac{2x + 1}{x}, \, x > 0;
\]

1) Множество значений:
\[
x — 2 > 0, \, y = \frac{1}{x — 2} > 0;
\]

2) Обратная функция:
\[
x = \frac{1}{y — 2}, \, y — 2 = \frac{1}{x};
\]

\[
x = \frac{2x + 1}{x};
\]

Что и требовалось доказать.

Задание:

Даны две функции:

\( y = \frac{1}{x — 2}, \, x > 2 \)

\( y = \frac{2x + 1}{x}, \, x > 0 \)

1) Множество значений для первой функции \( y = \frac{1}{x — 2} \):

Так как \( x > 2 \), то выражение \( x — 2 > 0 \), и функция \( y = \frac{1}{x — 2} \) будет положительной. Следовательно, множество значений будет \( y > 0 \).

2) Обратная функция:

Для нахождения обратной функции \( y = \frac{1}{x — 2} \), выразим \( x \) через \( y \):

Начнем с уравнения:

\( y = \frac{1}{x — 2} \quad \Rightarrow \quad x — 2 = \frac{1}{y} \quad \Rightarrow \quad x = \frac{1}{y} + 2.\)

Таким образом, обратная функция для \( y = \frac{1}{x — 2} \) имеет вид:

\( x = \frac{1}{y} + 2.\)

Ответ: обратная функция: \( x = \frac{1}{y} + 2 \).

3) Множество значений для второй функции \( y = \frac{2x + 1}{x} \):

Для второй функции \( y = \frac{2x + 1}{x} \), рассмотрим её поведение на интервале \( x > 0 \). Для значений \( x > 0 \), выражение \( \frac{2x + 1}{x} \) всегда положительно, поскольку числитель \( 2x + 1 > 0 \) и знаменатель \( x > 0 \). Следовательно, множество значений будет также положительным.

4) Обратная функция для второй функции \( y = \frac{2x + 1}{x} \):

Для нахождения обратной функции \( y = \frac{2x + 1}{x} \), выразим \( x \) через \( y \):

Начнем с уравнения:

\( y = \frac{2x + 1}{x} \quad \Rightarrow \quad yx = 2x + 1 \quad \Rightarrow \quad yx — 2x =\)

\(1 \quad \Rightarrow \quad x(y — 2) = 1 \quad \Rightarrow \quad x = \frac{1}{y — 2}.\)

Таким образом, обратная функция для \( y = \frac{2x + 1}{x} \) имеет вид:

\( x = \frac{1}{y — 2}.\)

Ответ: обратная функция: \( x = \frac{1}{y — 2} \).