ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 5 Номер 885 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Докажите, что функцией, обратной функции \( y = \frac{k}{x} \), где \( k \neq 0 \), является та же функция. Дайте геометрическое истолкование этому факту.

Задана функция:
\[
y = \frac{k}{x}, \, k \neq 0;
\]

1) Область определения:
\[
D(x) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty);
\]

2) Множество значений:
\[
E(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty);
\]

3) Обратная функция:
\[
x = \frac{k}{y}, \quad xy = k, \quad y = \frac{k}{x};
\]

График функции \( y = \frac{k}{x} \), при \( k \neq 0 \), симметричен относительно \( y = x \).

Задание:

Задана функция \( y = \frac{k}{x} \), где \( k \neq 0 \):

1) Область определения:

Функция \( y = \frac{k}{x} \) определена для всех значений \( x \), за исключением \( x = 0 \), так как деление на ноль невозможно.

Следовательно, область определения функции:

\( D(x) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty);\)

2) Множество значений:

Так как при \( x \to 0^+ \), \( y \to +\infty \), а при \( x \to 0^- \), \( y \to -\infty \), то функция может принимать любые значения, кроме \( y = 0 \). Таким образом, множество значений функции:

\( E(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty);\)

3) Обратная функция:

Для нахождения обратной функции, выражаем \( x \) через \( y \):\)

\( y = \frac{k}{x} \quad \Rightarrow \quad x = \frac{k}{y}.\)

Решив относительно \( y \), получаем:

\( xy = k \quad \Rightarrow \quad y = \frac{k}{x}.\)

График функции:

График функции \( y = \frac{k}{x} \) представляет собой гиперболу. Для всех значений \( k \neq 0 \) график будет симметричен относительно прямой \( y = x \), так как при \( y = \frac{k}{x} \) и \( x = \frac{k}{y} \) функции взаимно обратны.

Ответ:

Область определения: \( D(x) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty) \)

Множество значений: \( E(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty) \)

Обратная функция: \( y = \frac{k}{x} \), где \( k \neq 0 \)