ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 5 Номер 1016 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Вывести множитель из-под знака корня:

a) \( \sqrt[3]{-54a^4} \);

b) \( \sqrt[3]{8b^8} \), где \( b \geq 0 \);

в) \( \sqrt[5]{-a^2b^8} \).

Вынести множитель из-под знака корня:

a)
\[
\sqrt[3]{-54a^4} = \sqrt[3]{2a \cdot 3^3 a^3} = -3a \sqrt[3]{2a};
\]

b)
\[
\sqrt[4]{48b^5} = \sqrt[4]{3b \cdot 2^4 b^4} = 2b \sqrt[4]{3b}, \quad b \geq 0;
\]

в)
\[
\sqrt[6]{-a^7b^8} = \sqrt[6]{-ab^2 \cdot a^6 b^6} = -ab \sqrt[6]{-ab^2}.
\]

a) \( \sqrt[3]{-54a^4} \):

Для того чтобы вынести множитель из-под знака кубического корня, начнем с разложения числа \( -54a^4 \) на множители, которые можно выделить за знак корня:

\( \sqrt[3]{-54a^4} \)

Представим \( -54a^4 \) как произведение множителей:

\( -54a^4 = 2a \cdot 3^3 \cdot a^3 \)

Теперь разложим кубический корень:

\( \sqrt[3]{-54a^4} = \sqrt[3]{2a \cdot 3^3 \cdot a^3} \)

По свойству корня, можно разложить корень на произведение корней:

\( = \sqrt[3]{2a} \cdot \sqrt[3]{3^3} \cdot \sqrt[3]{a^3} \)

Теперь упростим каждую из этих частей:

• \( \sqrt[3]{3^3} = 3 \), так как \( \sqrt[3]{x^3} = x \);
• \( \sqrt[3]{a^3} = a \), так как \( \sqrt[3]{x^3} = x \);
• \( \sqrt[3]{2a} \) остается под корнем.

Подставляем полученные значения и множители:

\( = -3a \cdot \sqrt[3]{2a} \)

Таким образом, мы вынесли множитель \( -3a \) за знак кубического корня, а \( \sqrt[3]{2a} \) остался под корнем.

Ответ: \( -3a \sqrt[3]{2a} \).

b) \( \sqrt[4]{48b^5} \):

Для того чтобы вынести множитель из-под знака четвертого корня, начнем с разложения числа \( 48b^5 \) на множители:

\( \sqrt[4]{48b^5} = \sqrt[4]{3b \cdot 2^4 b^4} \)

Теперь выделим множители, которые могут быть вынесены из-под четвертого корня. Раскроем каждый множитель по частям:

<li\(\sqrt[4]{2^4} = 2 \), так как \( \sqrt[4]{x^4} = x \);
• \( b^4 \) также можно вынести, так как \( \sqrt[4]{b^4} = b \);
• \( 3b \) остается под корнем.

После вынесения из-под четвертого корня, получаем:

\( = 2b \cdot \sqrt[4]{3b} \)

Здесь \( 2b \) — это множитель, который мы вынесли, а оставшийся множитель \( \sqrt[4]{3b} \) остался под корнем.

Ответ: \( 2b \sqrt[4]{3b}, \quad b \geq 0 \).

в) \( \sqrt[6]{-a^7b^8} \):

Для того чтобы вынести множитель из-под знака шестого корня, начнем с разложения \( -a^7b^8 \) на множители:

\( \sqrt[6]{-a^7b^8} = \sqrt[6]{-ab^2 \cdot a^6 b^6} \)

Далее мы можем вынести части выражения, которые являются полными шестыми степенями:

• \( a^6 \) и \( b^6 \) могут быть вынесены за знак корня, так как \( \sqrt[6]{x^6} = x \);
• \( -ab \) остается под корнем.

После вынесения получаем:

\( = -ab \sqrt[6]{-ab^2} \)

Здесь \( -ab \) — это множитель, который мы вынесли, а оставшийся множитель \( \sqrt[6]{-ab^2} \) остался под корнем.

Ответ: \( -ab \sqrt[6]{-ab^2} \).