ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 5 Номер 1014 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Найдите значение корня:

\[
\sqrt[3]{\frac{1}{3} \underbrace{11\ldots 1}_{n} — \underbrace{33\ldots 3}_{n} \cdot \underbrace{00\ldots 0}_{n}} \quad (n \in \mathbb{N}).
\]

Найти значение корня:

\[
\sqrt[3]{\frac{1}{3} \left( \underbrace{11\ldots 1}_{3n} — \underbrace{33\ldots 3}_{n} \cdot \underbrace{00\ldots 0}_{n} \right)} =
\]

\[
= \sqrt[3]{\frac{1}{3} \left( \frac{10^{3n} — 1}{9} — 3 \cdot \frac{10^{2n} — 1}{9} + 3 \cdot \frac{10^n — 1}{9} \right)} =
\]

\[
= \sqrt[3]{\frac{1}{27} \cdot (10^{3n} — 3 \cdot 10^{2n} + 3 \cdot 10^n — 1)} =
\]

\[
= \frac{1}{3} \cdot \sqrt[3]{(10^n — 1)^3} = \frac{1}{3} \cdot (10^n — 1) = \underbrace{33\ldots 3}_{n};
\]

Ответ: \( \underbrace{33\ldots 3}_{n} \).

Найти значение корня:

Дано выражение:

\( \sqrt[3]{\frac{1}{3} \left( \underbrace{11\ldots 1}_{3n} — \underbrace{33\ldots 3}_{n} \cdot \underbrace{00\ldots 0}_{n} \right)} \)

Для начала разберем, что такое выражение \( \underbrace{11\ldots 1}_{3n} \), \( \underbrace{33\ldots 3}_{n} \), и \( \underbrace{00\ldots 0}_{n} \). Это числа, состоящие из определенного количества одинаковых цифр:

• \( \underbrace{11\ldots 1}_{3n} \) — это число, состоящее из \( 3n \) единиц, то есть \( \frac{10^{3n} — 1}{9} \);
• \( \underbrace{33\ldots 3}_{n} \) — это число, состоящее из \( n \) троек, то есть \( 3 \cdot \frac{10^n — 1}{9} \);
• \( \underbrace{00\ldots 0}_{n} \) — это число, состоящее из \( n \) нулей, которое является просто \( 10^n \) (или просто 0, если речь идет о факторе, умножаемом на 0).

Теперь, используя эти выражения, мы можем записать исходное выражение следующим образом:

\( \sqrt[3]{\frac{1}{3} \left( \frac{10^{3n} — 1}{9} — 3 \cdot \frac{10^n — 1}{9} + 3 \cdot \frac{10^n — 1}{9} \right)} \)

Обратите внимание, что после упрощения и объединения подобных слагаемых, выражение превращается в:

\( = \sqrt[3]{\frac{1}{3} \left( \frac{10^{3n} — 1}{9} — 3 \cdot \frac{10^{2n} — 1}{9} + 3 \cdot \frac{10^n — 1}{9} \right)} \)

Теперь выносим общий множитель \( \frac{1}{9} \) за скобки:

\( = \sqrt[3]{\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{9} \left( 10^{3n} — 3 \cdot 10^{2n} + 3 \cdot 10^n — 1 \right)} \)

Упростим коэффициенты, получая:

\( = \sqrt[3]{\frac{1}{27} \cdot (10^{3n} — 3 \cdot 10^{2n} + 3 \cdot 10^n — 1)} \)

Теперь видим, что выражение внутри кубического корня напоминает форму куба разности:

\( = \frac{1}{3} \cdot \sqrt[3]{(10^n — 1)^3} \)

Так как \( \sqrt[3]{a^3} = a \), получаем:

\( = \frac{1}{3} \cdot (10^n — 1) \)

В итоге мы получаем число, состоящее из \( n \) цифр 3:

Ответ: \( \underbrace{33\ldots 3}_{n} \).