ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 4 Номер 872 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Известно, что сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии равна 64, а сумма первых четырёх членов этой прогрессии равна \( 63 \frac{3}{4} \).

Найдите первый член и знаменатель прогрессии.

Геометрическая прогрессия:
\[
S = 64, \quad S_4 = 63 \frac{3}{4}; \quad b_1, \quad q;
\]

1) Из первого равенства:
\[
\frac{b_1}{1 — q} = 64, \quad b_1 = 64(1 — q);
\]

2) Из второго равенства:
\[
S_4 = \frac{b_1 (1 — q^4)}{1 — q} = 63 \frac{3}{4};
\]

\[
64(1 — q)(1 — q^4) = \frac{255}{4};
\]

\[
1 — q^4 = \frac{255}{256}, \quad q^4 = \frac{1}{256}, \quad q = \pm \frac{1}{4};
\]

\[
b_1 = 64 \cdot \frac{4}{5} = 80, \quad b_1 = 64 \cdot \frac{3}{4} = 48;
\]

Ответ: \(b_1 = 80; \, q = -\frac{1}{4}\) или \(b_1 = 48; \, q = \frac{1}{4}.\)

Задание:

Дана геометрическая прогрессия:

\( S = 64, \quad S_4 = 63 \frac{3}{4}; \quad b_1, \quad q;
\)

1) Из первого равенства:

Из первого равенства для суммы геометрической прогрессии имеем:

\( \frac{b_1}{1 — q} = 64, \quad b_1 = 64(1 — q);
\)

2) Из второго равенства:

Из второго равенства для суммы первых четырех членов геометрической прогрессии получаем:

\( S_4 = \frac{b_1 (1 — q^4)}{1 — q} = 63 \frac{3}{4};
\)

Для удобства представим \( 63 \frac{3}{4} \) в виде дроби:

\( S_4 = \frac{255}{4};
\)

Подставляем это значение в уравнение для \( S_4 \):

\( 64(1 — q)(1 — q^4) = \frac{255}{4};
\)

Умножим обе части на 4 для удобства:

\( 256(1 — q)(1 — q^4) = 255;
\)

Теперь рассмотрим выражение для \( 1 — q^4 \):

\( 1 — q^4 = \frac{255}{256}, \quad q^4 = \frac{1}{256};
\)

Взяли четвертую степень от обеих сторон:

\( q = \pm \frac{1}{4};
\)

3) Находим \( b_1 \):

Теперь, используя найденное значение для \( q \), подставим его в выражение для \( b_1 \):

Для \( q = -\frac{1}{4} \):

\( b_1 = 64 \cdot \frac{4}{5} = 80;
\)

Для \( q = \frac{1}{4} \):

\( b_1 = 64 \cdot \frac{3}{4} = 48;
\)

Ответ: \( b_1 = 80; \, q = -\frac{1}{4} \) или \( b_1 = 48; \, q = \frac{1}{4}. \)