ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 4 Номер 868 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Известно, что последовательность u_1, u_2, …, u_n, … имеет предел, равный b. Является ли сходящейся последовательность:

а) u_5, u_6, u_7, …, u_n, …, полученная из данной последовательности путём отбрасывания первых четырёх членов;

б) p_1, p_2, p_3, p_4, u_1, u_2, u_3, …, u_n, … , полученная из данной последовательности добавлением первых четырёх членов?

При положительном ответе укажите, чему равен предел полученной последовательности.

Дана последовательность:

\(u_1, u_2, \dots, u_n, \dots;\) \(\lim_{n \to \infty} u_n = b;\)

a) \(u_5, u_6, u_7, \dots, u_n, \dots;\)

\[
\lim_{n \to \infty} x_n = \lim_{n \to \infty} u_n = b;
\]

Ответ: \(b.\)

б) \(p_1, p_2, p_3, p_4, u_1, \dots, u_n, \dots;\)

\[
\lim_{n \to \infty} x_n = \lim_{n \to \infty} u_n = b;
\]

Ответ: \(b.\)

Задание:

Дана последовательность:

\( u_1, u_2, \dots, u_n, \dots; \quad \lim_{n \to \infty} u_n = b;
\)

a) Рассмотрим последовательность \( u_5, u_6, u_7, \dots, u_n, \dots; \)

Мы знаем, что предел последовательности \( u_n \) при \( n \to \infty \) равен \( b \), то есть:

\( \lim_{n \to \infty} u_n = b;
\)

Поскольку последовательность \( u_n \) стремится к \( b \), то аналогично для всех её членов начиная с \( u_5 \), предел также будет равен \( b \). Таким образом:

\( \lim_{n \to \infty} u_n = b;
\)

Ответ: \( b \).

б) Рассмотрим последовательность \( p_1, p_2, p_3, p_4, u_1, \dots, u_n, \dots; \)

Поскольку предел последовательности \( u_n \) равен \( b \), то для любой последовательности, содержащей \( u_n \) в качестве её элементов, предел этой последовательности также будет равен \( b \), если элементы последовательности \( u_n \) в конечном счете оказываются близки к \( b \). Таким образом:

\( \lim_{n \to \infty} u_n = b;
\)

Ответ: \( b \).