ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 4 Номер 865 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Сколько членов геометрической прогрессии 0,1; 0,2; 0,4; … надо сложить, чтобы полученная сумма была:

а) равна 51,1;

б) больше 10, но меньше 40?

В геометрической прогрессии:
\(0,1; \, 0,2; \, 0,4; \, \ldots;\)

\(b_1 = 0,1, \, b_2 = 0,2, \, q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{0,2}{0,1} = 2;\)

\[
S_n = \frac{b_1(q^n — 1)}{q — 1} = \frac{0,1(2^n — 1)}{2 — 1} = \frac{2^n — 1}{10};
\]

1) \(S_n = 51,1;\)

\[
\frac{2^n — 1}{10} = 51,1, \, 2^n — 1 = 511;
\]

\[
2^n = 512, \, 2^n = 2^9, \, n = 9;
\]

Ответ: \(9.\)

2) \(10 < S_n < 40;\)
\[
10 < \frac{2^n — 1}{10} < 40;
\]

\[
100 < 2^n — 1 < 400;
\]

\[
101 < 2^n < 401;
\]

\[
n = 7, \, n = 8;
\]

Ответ: \(7; \, 8.\)

Задание:

Дана геометрическая прогрессия:

\( 0,1; \, 0,2; \, 0,4; \, \ldots;
\)

1) Известно, что:

Первый член прогрессии \( b_1 = 0,1 \), второй член \( b_2 = 0,2 \), и знаменатель прогрессии \( q \) равен:

\( q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{0,2}{0,1} = 2;
\)

Теперь вычислим сумму первых \( n \) членов геометрической прогрессии с помощью формулы для суммы геометрической прогрессии:

\( S_n = \frac{b_1(q^n — 1)}{q — 1} = \frac{0,1(2^n — 1)}{2 — 1} = \frac{2^n — 1}{10};
\)

1) Когда \( S_n = 51,1 \):

Подставляем значение для \( S_n = 51,1 \) в формулу для суммы:

\( \frac{2^n — 1}{10} = 51,1, \quad 2^n — 1 = 511;
\)

Теперь решим для \( 2^n \):

\( 2^n = 512, \quad 2^n = 2^9, \quad n = 9;
\)

Ответ: \( n = 9 \).

2) Когда \( 10 < S_n < 40 \):

Для нахождения \( n \), при котором сумма \( S_n \) находится в пределах от 10 до 40, подставим это условие в формулу для суммы:

\( 10 < \frac{2^n — 1}{10} < 40;
\)

Умножим неравенство на 10:

\( 100 < 2^n — 1 < 400;
\)

Теперь добавим 1 ко всем частям неравенства:

\( 101 < 2^n < 401;
\)

Теперь найдем \( n \), которое удовлетворяет этому неравенству. Мы знаем, что \( 2^6 = 64 \), \( 2^7 = 128 \), \( 2^8 = 256 \), и \( 2^9 = 512 \). Таким образом, \( n \) может быть равно 7 или 8, так как \( 101 < 2^n < 401 \).

Ответ: \( n = 7, \, n = 8 \).