ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 4 Номер 855 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Найдите сумму S_(m+n) членов арифметической прогрессии, в которой a_m=n, a_n=m.

Арифметическая прогрессия:
\( a_m = n, \, a_n = m, \, a_1, \, d; \)

1) Из данных равенств:
\[
a_m = a_1 + d(m — 1) = n;\]

\[a_n = a_1 + d(n — 1) = m;\]

\[a_m — a_n = n — m;\]

\[d(m — n) = n — m, \, d = -1;\]

\[a_1 = n — d(m — 1) = n + m — 1;
\]

2) Сумма первых членов:

\[
S_{m+n} = \frac{2a_1 + d(m + n — 1)}{2} \cdot (m + n);
\]

\[
S_{m+n} = \frac{2n + 2m — 2 — m — n + 1}{2} \cdot (m + n);
\]

\[
S_{m+n} = \frac{(n + m — 1)(n + m)}{2};
\]

Ответ:

\[
\frac{(n + m — 1)(n + m)}{2}.
\]

Задание:

Дана арифметическая прогрессия:

\( a_m = n, \, a_n = m, \, a_1, \, d;
\)

1) Из данных равенств:

Для первого равенства, используя формулу для общего члена арифметической прогрессии \( a_m = a_1 + d(m — 1) \), подставляем \( a_m = n \):

\( a_m = a_1 + d(m — 1) = n;
\)

Аналогично для второго равенства для \( a_n = m \):

\( a_n = a_1 + d(n — 1) = m;
\)

Теперь вычитаем второе равенство из первого:

\( a_m — a_n = n — m;
\)

Получаем:

\( d(m — n) = n — m, \quad d = -1;
\)

Теперь выразим \( a_1 \) через \( n \) и \( m \):

\( a_1 = n — d(m — 1) = n + m — 1;
\)

2) Сумма первых членов:

Теперь найдем сумму первых \( m+n \) членов арифметической прогрессии. Для этого используем формулу для суммы арифметической прогрессии:

\( S_{m+n} = \frac{2a_1 + d(m + n — 1)}{2} \cdot (m + n);
\)

Подставим значения для \( a_1 = n + m — 1 \) и \( d = -1 \):

\( S_{m+n} = \frac{2(n + m — 1) + (-1)(m + n — 1)}{2} \cdot (m + n);
\)

Упрощаем числитель:

\( S_{m+n} = \frac{2n + 2m — 2 — m — n + 1}{2} \cdot (m + n);
\)

Упрощаем дальше:

\( S_{m+n} = \frac{(n + m — 1)(n + m)}{2};
\)

Ответ: \( \frac{(n + m — 1)(n + m)}{2}. \)