ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 4 Номер 854 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Найдите корень уравнения, в котором слагаемые, записанные в скобках, составляют арифметическую прогрессию:

а) (x+2)+(x+4)+(x+6)+…+(x+24)=180;

б) (2x+1)+(2x+4)+(2x+7)+…+(2x+46)=472.

В арифметической прогрессии:

a) \( (x+2) + (x+4) + (x+6) + \ldots + (x+24) = 180; \)

\( a_1 = x + 2, \, a_2 = x + 4, \, d = a_2 — a_1 = 2, \, n = \frac{24}{2} = 12; \)

\[
S_{12} = \frac{2a_1 + 11d}{2} \cdot 12 = 6 \cdot (2(x + 2) + 11 \cdot 2) = 180;
\]

\[
2x + 4 + 22 = 30, \, 2x = 4, \, x = 2;
\]

Ответ: 2.

б) \( (2x+1) + (2x+4) + (2x+7) + \ldots + (2x+46) = 472; \)

\( a_1 = 2x + 1, \, a_2 = 2x + 4, \, d = a_2 — a_1 = 3, \, n = \frac{48}{3} = 16; \)

\[
S_{16} = \frac{2a_1 + 15d}{2} \cdot 16 = 8 \cdot (2(2x + 1) + 15 \cdot 3) = 472;
\]

\[
4x + 2 + 45 = 59, \, 4x = 12, \, x = 3;
\]

Ответ: 3.

Задание:

a) Арифметическая прогрессия:

Дано уравнение:

\( (x+2) + (x+4) + (x+6) + \ldots + (x+24) = 180;
\)

Первый член прогрессии \( a_1 = x + 2 \), второй член \( a_2 = x + 4 \), разность прогрессии \( d = a_2 — a_1 = 2 \). Количество членов прогрессии \( n \) можно найти по формуле для общего члена:

\( n = \frac{24}{2} = 12;
\)

Используем формулу для суммы арифметической прогрессии:

\( S_n = \frac{2a_1 + (n — 1) \cdot d}{2} \cdot n;
\)

Подставляем известные значения для \( n = 12 \), \( a_1 = x + 2 \), и \( d = 2 \):

\( S_{12} = \frac{2(x + 2) + 11 \cdot 2}{2} \cdot 12 = 6 \cdot (2(x + 2) + 11 \cdot 2) = 180;
\)

Теперь решим уравнение:

\( 2x + 4 + 22 = 30, \quad 2x = 4, \quad x = 2;
\)

Ответ: \( x = 2 \).

б) Арифметическая прогрессия:

Дано уравнение:

\( (2x+1) + (2x+4) + (2x+7) + \ldots + (2x+46) = 472;
\)

Первый член прогрессии \( a_1 = 2x + 1 \), второй член \( a_2 = 2x + 4 \), разность прогрессии \( d = a_2 — a_1 = 3 \). Количество членов прогрессии \( n \) можно найти по формуле для общего члена:

\( n = \frac{48}{3} = 16;
\)

Используем формулу для суммы арифметической прогрессии:

\( S_n = \frac{2a_1 + (n — 1) \cdot d}{2} \cdot n;
\)

Подставляем известные значения для \( n = 16 \), \( a_1 = 2x + 1 \), и \( d = 3 \):

\( S_{16} = \frac{2(2x + 1) + 15 \cdot 3}{2} \cdot 16 = 8 \cdot (2(2x + 1) + 15 \cdot 3) = 472;
\)

Теперь решим уравнение:

\( 4x + 2 + 45 = 59, \quad 4x = 12, \quad x = 3;
\)

Ответ: \( x = 3 \).