ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 4 Номер 850 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Докажите, что если числа а, b, с составляют арифметическую прогрессию, то:

а) 3(a^2+b^2+c^2)-6(a+b)^2=(a+b+c)^2;

б) a(b^2-c^2)+b(c^2-a^2)+c(a^2-b^2)=1/4(c-a)^2.

В арифметической прогрессии:

\[
a_1 = a, \, a_2 = b, \, a_3 = c;
\]

1)
\[
3(a^2 + b^2 + c^2) — 6(a + b)^2 = (a + b + c)^2;
\]

Пусть \( a = 1 \), \( b = 2 \) и \( c = 3 \), тогда:

\[
3(1 + 4 + 9) — 6(1 + 2)^2 = (1 + 2 + 3)^2;
\]

\[
3 \cdot 14 — 6 \cdot 9 = 6^2, \quad 42 — 54 = 36, \quad -12 = 36;
\]

Равенство не выполняется.

2)
\[
a(b^2 — c^2) + b(c^2 — a^2) + c(a^2 — b^2) = -\frac{1}{4}(c — a)^2;
\]

Пусть \( a = 1 \), \( b = 2 \) и \( c = 3 \), тогда:

\[
1(5 — 9) + 2 \cdot (9 — 1) + 3 \cdot (1 — 4) = -\frac{1}{4}(3 — 1)^2;
\]

\[
-5 + 2 \cdot 8 + 3 \cdot (-3) = -\frac{1}{4} \cdot 2^2, \quad -5 + 16 — 9 = 1;
\]

Равенство не выполняется.

Задание:

В арифметической прогрессии:

\( a_1 = a, \, a_2 = b, \, a_3 = c;
\)

1) Проверим первое равенство:

Дано равенство:

\( 3(a^2 + b^2 + c^2) — 6(a + b)^2 = (a + b + c)^2;
\)

Подставим \( a = 1 \), \( b = 2 \) и \( c = 3 \):

\( 3(1^2 + 2^2 + 3^2) — 6(1 + 2)^2 = (1 + 2 + 3)^2;
\)

Рассчитаем каждую часть:

\( 3(1 + 4 + 9) — 6(1 + 2)^2 = (1 + 2 + 3)^2;
\)

\( 3 \cdot 14 — 6 \cdot 9 = 6^2, \quad 42 — 54 = 36, \quad -12 = 36;
\)

Равенство не выполняется, так как \(-12 \neq 36\).

2) Проверим второе равенство:

Дано равенство:

\( a(b^2 — c^2) + b(c^2 — a^2) + c(a^2 — b^2) = -\frac{1}{4}(c — a)^2;
\)

Подставим \( a = 1 \), \( b = 2 \) и \( c = 3 \):

\( 1(2^2 — 3^2) + 2(3^2 — 1^2) + 3(1^2 — 2^2) = -\frac{1}{4}(3 — 1)^2;
\)

Выполним вычисления для каждой части:

\( 1(4 — 9) + 2(9 — 1) + 3(1 — 4) = -\frac{1}{4}(3 — 1)^2;
\)

\( -5 + 2 \cdot 8 + 3 \cdot (-3) = -\frac{1}{4} \cdot 2^2, \quad -5 + 16 — 9 = 1;
\)

Равенство не выполняется, так как \( 1 \neq 0 \).

Ответ: Оба равенства не выполняются для \( a = 1 \), \( b = 2 \), и \( c = 3 \).