ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 4 Номер 848 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Докажите, что если последовательность (а_n) — арифметическая прогрессия и a_p+a_m=a_k+a_l, то p+m=k+l.

В арифметической прогрессии:
\[
a_p + a_m = a_k + a_l, \quad a_1, \, d;
\]

1) Левая часть равенства:
\[
a_p + a_m = a_1 + d(p — 1) + a_1 + d(m — 1);
\]

\[
a_p + a_m = 2a_1 + d(p + m — 2);
\]

2) Правая часть равенства:

\[
a_k + a_l = a_1 + d(k — 1) + a_1 + d(l — 1);
\]

\[
a_k + a_l = 2a_1 + d(k + l — 2);
\]

3) Из данного равенства:

\[
2a_1 + d(p + m — 2) = 2a_1 + d(k + l — 2);
\]

\[
d(p + m — 2) = d(k + l — 2);
\]

\[
p + m — 2 = k + l — 2;
\]

\[
p + m = k + l.
\]

Что и требовалось доказать.

Задание:

Дана арифметическая прогрессия:

\( a_p + a_m = a_k + a_l, \quad a_1, \, d;
\)

1) Левая часть равенства:

Для левой части равенства \( a_p + a_m \) выразим эти члены через \( a_1 \) и разность \( d \). По формуле для \( n \)-го члена арифметической прогрессии, \( a_n = a_1 + d(n — 1) \), получаем:

\( a_p + a_m = a_1 + d(p — 1) + a_1 + d(m — 1);
\)

Приводим подобные слагаемые:

\( a_p + a_m = 2a_1 + d(p + m — 2);
\)

2) Правая часть равенства:

Теперь рассмотрим правую часть равенства \( a_k + a_l \). Аналогично, выразим эти члены через \( a_1 \) и \( d \):

\( a_k + a_l = a_1 + d(k — 1) + a_1 + d(l — 1);
\)

Приводим подобные слагаемые:

\( a_k + a_l = 2a_1 + d(k + l — 2);
\)

3) Из данного равенства:

Теперь приравняем левую и правую части равенства:

\( 2a_1 + d(p + m — 2) = 2a_1 + d(k + l — 2);
\)

Убираем \( 2a_1 \) с обеих сторон:

\( d(p + m — 2) = d(k + l — 2);
\)

Если \( d \neq 0 \), делим обе стороны на \( d \):

\( p + m — 2 = k + l — 2;
\)

Упрощаем:

\( p + m = k + l.
\)

Ответ: Мы доказали, что \( p + m = k + l \), как и требовалось.