ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 4 Номер 847 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Известно, что последовательность (a_n) — арифметическая прогрессия, в которой a_1+a_4+a_7+…+a_16=210. Найдите, чему равна сумма a_1+a_6+a_11+a_16.

В арифметической прогрессии:

\[
a_1 + a_4 + a_7 + \dots + a_{16} = 210;
\]

1) Из данного равенства:

\[
a_1 + (a_1 + 3d) + \dots + (a_1 + 15d) = 210;
\]

\[
6a_1 + (3d + 6d + 9d + 12d + 15d) = 210;
\]

\[
6a_1 + 45d = 210, \quad 2a_1 + 15d = 70;
\]

2) Значение суммы:

\[
S = a_1 + a_6 + a_{11} + a_{16};
\]

\[
S = a_1 + (a_1 + 5d) + (a_1 + 10d) + (a_1 + 15d);
\]

\[
S = 4a_1 + 30d = 2(2a_1 + 15d) = 2 \cdot 70 = 140;
\]

Ответ: 140.

Задание:

Дана арифметическая прогрессия:

\( a_1 + a_4 + a_7 + \dots + a_{16} = 210;
\)

1) Из данного равенства:

Мы знаем, что члены арифметической прогрессии на местах \( 1, 4, 7, \dots, 16 \) могут быть выражены как:

\( a_1 + (a_1 + 3d) + (a_1 + 6d) + (a_1 + 9d) + \dots + (a_1 + 15d) = 210;
\)

Теперь выделим общие множители в сумме:

\( 6a_1 + (3d + 6d + 9d + 12d + 15d) = 210;
\)

Вынесем за скобки \(d\) из второй части суммы:

\( 6a_1 + 45d = 210;
\)

Теперь упростим это уравнение:

\( 2a_1 + 15d = 70;
\)

2) Значение суммы:

Найдем сумму \( S \), которая состоит из членов прогрессии \( a_1, a_6, a_{11}, a_{16} \). Эти члены выражаются как:

\( S = a_1 + (a_1 + 5d) + (a_1 + 10d) + (a_1 + 15d);
\)

Приводим подобные слагаемые:

\( S = 4a_1 + 30d;
\)

Теперь подставим выражение \( 2a_1 + 15d = 70 \) из первого шага в уравнение для суммы:

\( S = 2(2a_1 + 15d) = 2 \cdot 70 = 140;
\)

Ответ: 140.