ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 4 Номер 845 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Между числами a и b поместили m чисел, которые вместе с данными числами составили арифметическую прогрессию. Найдите первые три члена этой прогрессии.

Арифметическая прогрессия:

\[
a_1 = a, \quad a_{m+2} = b;
\]

1) Разность заданной прогрессии:

\[
a_{m+2} = a_1 + d(m + 1), \quad b = a + d(m + 1);
\]

\[
d(m + 1) = b — a, \quad d = \frac{b — a}{m + 1};
\]

2) Члены данной прогрессии:

\[
a_2 = a_1 + d = a + \frac{b — a}{m + 1};
\]

\[
a_{m+1} = a_1 + 2d = a + 2 \cdot \frac{b — a}{m + 1} = \frac{am + b}{m + 1};
\]

\[
a_{m+2} = a + \frac{2b — 2a}{m + 1} = \frac{a(m — 1) + 2b}{m + 1};
\]

Ответ:

\[
a; \quad \frac{am + b}{m + 1}; \quad \frac{a(m — 1) + 2b}{m + 1}.
\]

Задание:

Дана арифметическая прогрессия:

\( a_1 = a, \quad a_{m+2} = b;
\)

1) Разность заданной прогрессии:

Для нахождения разности прогрессии, воспользуемся формулой для общего члена арифметической прогрессии:

\( a_n = a_1 + (n — 1) \cdot d, \)

где \( a_n \) — это \(n\)-й член прогрессии, \( a_1 \) — первый член, \( d \) — разность прогрессии. Для \( n = m + 2 \), получаем следующий вид уравнения для \(a_{m+2}\):

\( a_{m+2} = a_1 + d(m + 1).
\)

Подставляем значения \( a_1 = a \) и \( a_{m+2} = b \), получаем:

\( b = a + d(m + 1).
\)

Теперь выразим разность \( d \):

\( d(m + 1) = b — a, \quad d = \frac{b — a}{m + 1}.
\)

2) Члены данной прогрессии:

Теперь, зная разность \( d = \frac{b — a}{m + 1} \), вычислим несколько членов прогрессии.

Первый член уже задан, \( a_1 = a \), и второй член прогрессии \( a_2 \) можно найти, прибавив разность \( d \) к первому члену:

\( a_2 = a_1 + d = a + \frac{b — a}{m + 1}.
\)

Теперь вычислим \( a_{m+1} \), который является \( m+1 \)-м членом прогрессии. Он равен:

\( a_{m+1} = a_1 + 2d = a + 2 \cdot \frac{b — a}{m + 1}.
\)

Упростим выражение для \( a_{m+1} \):

\( a_{m+1} = \frac{am + b}{m + 1}.
\)

Теперь найдём \( a_{m+2} \), который является \( m+2 \)-м членом прогрессии. Он равен:

\( a_{m+2} = a_1 + \frac{2b — 2a}{m + 1} = \frac{a(m — 1) + 2b}{m + 1}.
\)

Ответ: Члены прогрессии:
\( a_1 = a; \quad a_{m+1} = \frac{am + b}{m + 1}; \quad a_{m+2} = \frac{a(m — 1) + 2b}{m + 1}. \)