ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 4 Номер 836 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

В бесконечно убывающей геометрической прогрессии первый член составляет одну четвёртую часть от суммы всех остальных. Найдите первый член и знаменатель прогрессии, если известно, что третий член этой прогрессии равен 9.

В геометрической прогрессии:

\[
b_1 : (S — b_1) = 1 : 4, \quad b_3 = 9;
\]

1) Из первого равенства:

\[
\frac{b_1}{\frac{b_2}{1 — q}} = \frac{1}{4}, \quad b_1 \cdot \frac{1 — q}{b_1 \cdot q} = \frac{1}{4};
\]

\[
q = 4 — 4q, \quad 5q = 4, \quad q = \frac{4}{5};
\]

2) Из второго равенства:

\[
b_3 = b_1 \cdot q^2 = 9, \quad b_1 \cdot \frac{16}{25} = 9;
\]

\[
b_1 = \frac{9 \cdot 25}{16} = \frac{225}{16} = 14 \frac{1}{16}.
\]

Ответ:

\[
b_1 = 14 \frac{1}{16}, \quad q = \frac{4}{5}.
\]

Задание:

В геометрической прогрессии:

\( b_1 : (S — b_1) = 1 : 4, \quad b_3 = 9;
\)

1) Из первого равенства:

Дано, что:

\( \frac{b_1}{S — b_1} = \frac{1}{4}.
\)

Здесь \( S \) — это сумма бесконечной геометрической прогрессии, которую можно выразить как:

\( S = \frac{b_1}{1 — q}, \quad \text{где } q \text{ — знаменатель прогрессии.}
\)

Подставим это в первое равенство:

\( \frac{b_1}{\frac{b_2}{1 — q}} = \frac{1}{4}.
\)

Так как \( b_2 = b_1 \cdot q \), мы можем выразить это как:

\( \frac{b_1}{\frac{b_1 \cdot q}{1 — q}} = \frac{1}{4}.
\)

Упрощаем выражение:

\( b_1 \cdot \frac{1 — q}{b_1 \cdot q} = \frac{1}{4}.
\)

Преобразуем его дальше:

\( \frac{1 — q}{q} = \frac{1}{4}.
\)

Теперь умножим обе части на \( q \):

\( 1 — q = \frac{q}{4}.
\)

Преобразуем это уравнение:

\( 4 — 4q = q, \quad 5q = 4, \quad q = \frac{4}{5}.
\)

2) Из второго равенства:

Дано, что \( b_3 = 9 \). Мы знаем, что \( b_3 = b_1 \cdot q^2 \), подставляем это в уравнение:

\( b_1 \cdot q^2 = 9, \quad b_1 \cdot \frac{16}{25} = 9.
\)

Теперь найдем \( b_1 \):

\( b_1 = \frac{9 \cdot 25}{16} = \frac{225}{16} = 14 \frac{1}{16}.
\)

Ответ: \( b_1 = 14 \frac{1}{16}, \quad q = \frac{4}{5}. \)