ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 4 Номер 835 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Сумма членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии равна 64. Члены, стоящие на нечётных местах, образуют бесконечно убывающую геометрическую профессию, сумма которой равна 51,2. Вычислите первые четыре члена каждой из прогрессий.

В геометрической прогрессии:

\[
S = 64, \quad b_1 + b_3 + \dots = 51,2;
\]

1) Из первого равенства:

\[
\frac{b_1}{1 — q} = 64, \quad b_1 = 64(1 — q);
\]

2) Из второго равенства:

\[
b_1 + b_3 + \dots = \frac{b_1}{1 — q^2} = 51,2;
\]

\[
\frac{64(1 — q)}{(1 — q)(1 + q)} = 51,2;
\]

\[
64 = 51,2(1 + q);
\]

\[
64 = 51,2 + 51,2q;
\]

\[
51,2q = 12,8, \quad q = \frac{1}{4};
\]

\[
b_1 = 64 \cdot \frac{3}{4} = 48;
\]

3) Первые четыре члена:

\[
b_2 = b_1 \cdot q = 48 \cdot \frac{1}{4} = 12;
\]

\[
b_3 = b_2 \cdot q = 12 \cdot \frac{1}{4} = 3;
\]

\[
b_4 = b_3 \cdot q = 3 \cdot \frac{1}{4} = \frac{3}{4};
\]

\[
b_5 = b_4 \cdot q = \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{4} = \frac{3}{16};
\]

\[
b_7 = b_5 \cdot q^2 = \frac{3}{16} \cdot \frac{1}{16} = \frac{3}{256}.
\]

Ответ:

48; 12; 3; \(\frac{3}{4}\); и 48; \(\frac{3}{16}\); \(\frac{3}{256}\).

Задание:

В геометрической прогрессии:

\( S = 64, \quad b_1 + b_3 + \dots = 51,2;
\)

1) Из первого равенства:

Мы знаем, что сумма бесконечной геометрической прогрессии выражается формулой:

\( S = \frac{b_1}{1 — q} = 64, \)

Отсюда, получаем:

\( b_1 = 64(1 — q).
\)

2) Из второго равенства:

Дано, что сумма членов прогрессии, начиная с первого и каждого третьего, равна \( 51,2 \). Это можно записать как:

\( b_1 + b_3 + \dots = \frac{b_1}{1 — q^2} = 51,2;
\)

Подставим \( b_1 = 64(1 — q) \) из первого равенства в формулу для суммы членов:

\( \frac{64(1 — q)}{(1 — q)(1 + q)} = 51,2;
\)

Упрощаем выражение:

\( \frac{64}{1 + q} = 51,2;
\)

Теперь умножим обе части на \( 1 + q \), чтобы избавиться от знаменателя:

\( 64 = 51,2(1 + q);
\)

Раскроем скобки:

\( 64 = 51,2 + 51,2q;
\)

Теперь перенесем все слагаемые в одну сторону:

\( 51,2q = 64 — 51,2 = 12,8;
\)

Теперь найдем \( q \):

\( q = \frac{12,8}{51,2} = \frac{1}{4}.
\)

3) Нахождение \( b_1 \):

Теперь, зная \( q = \frac{1}{4} \), найдем \( b_1 \) из первого равенства:

\( b_1 = 64 \cdot \frac{3}{4} = 48.
\)

4) Первые четыре члена:

Теперь находим первые четыре члена прогрессии:

Первый член уже найден: \( b_1 = 48 \).

Второй член: \( b_2 = b_1 \cdot q = 48 \cdot \frac{1}{4} = 12; \)

Третий член: \( b_3 = b_2 \cdot q = 12 \cdot \frac{1}{4} = 3; \)

Четвертый член: \( b_4 = b_3 \cdot q = 3 \cdot \frac{1}{4} = \frac{3}{4}; \)

5) Дальнейшие члены:

Для нахождения пятого и седьмого членов:

Пятый член: \( b_5 = b_4 \cdot q = \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{4} = \frac{3}{16}; \)

Седьмой член: \( b_7 = b_5 \cdot q^2 = \frac{3}{16} \cdot \frac{1}{16} = \frac{3}{256}; \)

Ответ: 48; 12; 3; \( \frac{3}{4} \); и 48; \( \frac{3}{16} \); \( \frac{3}{256} \).