ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 4 Номер 832 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Найдите знаменатель бесконечно убывающей геометрической прогрессии, у которой каждый член относится к сумме последующих членов как 3 : 5.

Геометрическая прогрессия:
\[
b_n : (S — b_1 — \dots — b_n) = \frac{3}{5};
\]

Если \( n = 1 \), тогда:

\[
b_1 : (S — b_1) = \frac{3}{5};
\]

\[
b_1 : \frac{b_2}{1 — q} = \frac{3}{5};
\]

\[
b_1 \cdot \frac{1 — q}{b_1 \cdot q} = \frac{3}{5};
\]

\[
5(1 — q) = 3q;
\]

\[
5 — 5q = 3q;
\]

\[
5 = 8q, \, q = \frac{5}{8};
\]

Ответ: \( \frac{5}{8} \).

Задача:

Геометрическая прогрессия:

\( b_n : (S — b_1 — \dots — b_n) = \frac{3}{5} \);

Шаг 1: Разберемся, что происходит при \( n = 1 \):

Когда \( n = 1 \), мы можем записать равенство следующим образом:

\( b_1 : (S — b_1) = \frac{3}{5}; \)

Это выражение означает, что первый член геометрической прогрессии \( b_1 \) делится на сумму всех остальных членов прогрессии \( S — b_1 \) и результат этого деления равен \( \frac{3}{5} \).

Шаг 2: Переход к формуле для суммы:

Для нахождения отношения между членами прогрессии можно воспользоваться формулой суммы членов геометрической прогрессии:

\( b_1 : \frac{b_2}{1 — q} = \frac{3}{5}; \)

Здесь \( b_1 \) — первый член прогрессии, а \( q \) — её знаменатель. \( b_2 \) — второй член прогрессии, который можно выразить через \( b_1 \) и \( q \) как \( b_2 = b_1 \cdot q \), что даёт нам формулу выше.

Шаг 3: Перепишем уравнение для упрощения:

Мы можем переписать это выражение, чтобы упростить его:

\( b_1 \cdot \frac{1 — q}{b_1 \cdot q} = \frac{3}{5}; \)

Теперь можно упростить выражение, сократив \( b_1 \) в числителе и знаменателе:

\( \frac{1 — q}{q} = \frac{3}{5}; \)

Шаг 4: Решим полученное уравнение:

Теперь мы можем умножить обе части уравнения на \( q \) и упростить его:

\( 5(1 — q) = 3q; \)

Раскроем скобки и упростим:

\( 5 — 5q = 3q; \)

Теперь переносим все \( q \)-составляющие на одну сторону, а константы на другую:

\( 5 = 8q; \)

Теперь решим относительно \( q \):

\( q = \frac{5}{8}; \)

Шаг 5: Итоговый ответ:

Таким образом, мы нашли, что знаменатель прогрессии \( q = \frac{5}{8} \).

Ответ: \( q = \frac{5}{8} \).