ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 4 Номер 829 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии равна 18, а сумма первых трёх её членов равна 12 2/3. Найдите первый член и знаменатель прогрессии.

В геометрической прогрессии:

\( S = 18, \, b_1 + b_2 + b_3 = 12 \frac{2}{3}; \)

1) Из первого равенства:

\[
\frac{b_1}{1 — q} = 18, \, b_1 = 18(1 — q);
\]

2) Из второго равенства:

\[
b_1 + b_1q + b_1q^2 = 12 \frac{2}{3};
\]

\[
b_1(1 + q + q^2) = \frac{38}{3};
\]

\[
54(1 — q)(1 + q + q^2) = 38;
\]

\[
27(1 — q^3) = 19, \, 1 — q^3 = \frac{19}{27};
\]

\[
q^3 = \frac{8}{27}, \, q = \frac{2}{3};
\]

\[
b_1 = 18 \cdot \frac{1}{3} = 6;
\]

Ответ: \( b_1 = 6; \, q = \frac{2}{3}. \)

Задача:

Дана геометрическая прогрессия:

\( S = 18, \, b_1 + b_2 + b_3 = 12 \frac{2}{3} \);

Шаг 1: Из первого равенства

Сначала используем формулу для суммы геометрической прогрессии:

\( S = \frac{b_1}{1 — q} = 18 \)

Отсюда получаем:

\( b_1 = 18(1 — q) \)

Шаг 2: Из второго равенства

Запишем сумму первых трех членов геометрической прогрессии:

\( b_1 + b_1q + b_1q^2 = 12 \frac{2}{3} \)

Переводим дробь в неправильную: \( 12 \frac{2}{3} = \frac{38}{3} \). Таким образом, получаем:

\( b_1(1 + q + q^2) = \frac{38}{3} \)

Теперь, подставляем выражение для \( b_1 \) из первого шага:

\( 18(1 — q)(1 + q + q^2) = 38 \)

Умножаем обе части уравнения на 3:

\( 54(1 — q)(1 + q + q^2) = 38 \)

Преобразуем и раскрываем скобки:

\( 27(1 — q^3) = 19 \)

Далее решаем для \( q^3 \):

\( 1 — q^3 = \frac{19}{27} \)

Следовательно:

\( q^3 = \frac{8}{27} \)

И находим \( q \):

\( q = \frac{2}{3} \)

Шаг 3: Находим \( b_1 \)

Теперь подставим найденное значение \( q \) в формулу для \( b_1 \):

\( b_1 = 18 \cdot \frac{1}{3} = 6 \)

Ответ: \( b_1 = 6, \, q = \frac{2}{3} \)