ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 4 Номер 812 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

К какому числу сходится последовательность, если:

а) c_n=2+1/(n+3); б) c_n=(3n+5)/(n+2); в) c_n=1/vn?

К какому числу сходится эта последовательность:

a)

\[
c_n = 2 + \frac{1}{n+3};
\]

\[
\lim_{n \to \infty} \left( 2 + \frac{1}{n+3} \right) = 2;
\]

Ответ: 2.

б)

\[
c_n = \frac{3n + 5}{n + 2};
\]

\[
c_n = \frac{3(n + 2) — 1}{n + 2};
\]

\[
c_n = 3 — \frac{1}{n + 2};
\]

\[
\lim_{n \to \infty} \left( 3 — \frac{1}{n+2} \right) = 3;
\]

Ответ: 3.

в)

\[
c_n = \frac{1}{\sqrt{n}};
\]

\[
\lim_{n \to \infty} \frac{1}{\sqrt{n}} = 0;
\]

Ответ: 0.

a) Последовательность: \( c_n = 2 + \frac{1}{n+3}; \)

Шаг 1: Рассмотрим предел последовательности при \( n \to \infty \):

\( \lim_{n \to \infty} \left( 2 + \frac{1}{n+3} \right) = 2 + \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n+3} \)

Так как \( \frac{1}{n+3} \) стремится к нулю при \( n \to \infty \), получаем:

\( \lim_{n \to \infty} c_n = 2 + 0 = 2 \)

Ответ: Предел последовательности \( c_n \) равен \( 2 \).

b) Последовательность: \( c_n = \frac{3n + 5}{n + 2}; \)

Шаг 1: Преобразуем выражение для \( c_n \):

\( c_n = \frac{3n + 5}{n + 2} = \frac{3(n + 2) — 1}{n + 2} \)

\( c_n = 3 — \frac{1}{n + 2} \)

Шаг 2: Рассмотрим предел последовательности при \( n \to \infty \):

\( \lim_{n \to \infty} \left( 3 — \frac{1}{n+2} \right) = 3 — \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n+2} \)

Так как \( \frac{1}{n+2} \) стремится к нулю при \( n \to \infty \), получаем:

\( \lim_{n \to \infty} c_n = 3 — 0 = 3 \)

Ответ: Предел последовательности \( c_n \) равен \( 3 \).

в) Последовательность: \( c_n = \frac{1}{\sqrt{n}}; \)

Шаг 1: Рассмотрим предел последовательности при \( n \to \infty \):

\( \lim_{n \to \infty} \frac{1}{\sqrt{n}} \)

Так как \( \frac{1}{\sqrt{n}} \) стремится к 0 при \( n \to \infty \), получаем:

\( \lim_{n \to \infty} c_n = 0 \)

Ответ: Предел последовательности \( c_n \) равен \( 0 \).