ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 4 Номер 804 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Три числа, сумма которых равна 15,6, являются первыми тремя членами геометрической прогрессии и одновременно вторым, четырнадцатым и пятидесятым членами арифметической прогрессии. Найдите сумму первых шести членов геометрической прогрессии.

В геометрической прогрессии:

\[
b_1 + b_2 + b_3 = 15,6;
\]

1) В арифметической прогрессии:

\[
a_2 = b_1, \, a_{14} = b_2, \, a_{50} = b_3;
\]

\[
a_{14} = a_2 + 12d, \, a_{50} = a_2 + 48d;
\]

\[
a_{14} — a_2 = 12d, \, a_{50} — a_2 = 48d;
\]

2) Отношение равенств:

\[
\frac{a_{14} — a_2}{a_{50} — a_2} = \frac{12d}{48d};
\]

\[
\frac{b_2 — b_1}{b_3 — b_1} = \frac{b_1 q — b_1}{b_1 q^2 — b_1} = \frac{1}{4};
\]

\[
\frac{q — 1}{q^2 — 1} = \frac{1}{4};
\]

\[
q + 1 = 4, \, q = 3;
\]

3) Первый член прогрессии:

\[
b_1 + b_1 q + b_1 q^2 = 15,6;
\]

\[
b_1 + 3b_1 + 9b_1 = 15,6;
\]

\[
13b_1 = 15,6, \, b_1 = 1,2;
\]

4) Сумма её шести первых членов:

\[
S_6 = \frac{b_1 (q^6 — 1)}{q — 1} = \frac{1,2 (3^6 — 1)}{3 — 1} = 436,8;
\]

Ответ:

\( S_6 = 436,8. \)

Задача: Рассмотрим геометрическую прогрессию:

\( b_1 + b_2 + b_3 = 15,6 \);

Шаг 1: В арифметической прогрессии:

\( a_2 = b_1, \, a_{14} = b_2, \, a_{50} = b_3; \)

\( a_{14} = a_2 + 12d, \, a_{50} = a_2 + 48d; \)

\( a_{14} — a_2 = 12d, \, a_{50} — a_2 = 48d; \)

Шаг 2: Отношение равенств:

\( \frac{a_{14} — a_2}{a_{50} — a_2} = \frac{12d}{48d}; \)

Получаем следующее соотношение:

\( \frac{b_2 — b_1}{b_3 — b_1} = \frac{b_1 q — b_1}{b_1 q^2 — b_1} = \frac{1}{4}; \)

Упрощаем выражение:

\( \frac{q — 1}{q^2 — 1} = \frac{1}{4}; \)

Решаем для \( q \):

\( q + 1 = 4, \, q = 3; \)

Шаг 3: Теперь находим первый член прогрессии:

\( b_1 + b_1 q + b_1 q^2 = 15,6; \)

Подставляем \( q = 3 \):

\( b_1 + 3b_1 + 9b_1 = 15,6; \)

Складываем выражения:

\( 13b_1 = 15,6, \, b_1 = 1,2; \)

Шаг 4: Сумма шести первых членов геометрической прогрессии:

\( S_6 = \frac{b_1 (q^6 — 1)}{q — 1} = \frac{1,2 (3^6 — 1)}{3 — 1} = 436,8; \)

Ответ: \( S_6 = 436,8 \).