ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 4 Номер 803 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Если из первых четырёх членов геометрической прогрессии вычесть соответственно 0,5, 1, 4, 12, то получатся первые четыре члена арифметической прогрессии. Найдите знаменатель геометрической прогрессии и сумму первых шести её членов.

В геометрической прогрессии:

\( b_1, \, b_2 = b_1 q, \, b_3 = b_1 q^2, \, b_4 = b_1 q^3; \)

1) В арифметической прогрессии:

\[
a_1 = b_1 — 0,5, \, a_2 = b_2 — 1;
\]

\[
a_3 = b_3 — 4, \, a_4 = b_4 — 12;
\]

\[
d = a_2 — a_1 = a_4 — a_3 = a_3 — a_2;
\]

2) Из первого найденного равенства:

\[
(b_2 — 1) — (b_1 — 0,5) = (b_4 — 12) — (b_3 — 4);
\]

\[
b_2 — b_1 — 0,5 = b_4 — b_3 — 8;
\]

\[
b_2 — b_1 — b_4 + b_3 = -7,5;
\]

3) Из второго найденного равенства:

\[
(b_2 — 1) — (b_1 — 0,5) = (b_3 — 4) — (b_2 — 1);
\]

\[
b_2 — b_1 — 0,5 = b_3 — b_2 — 3;
\]

\[
2b_2 — b_1 — b_3 = -2,5;
\]

Текст из второго изображения:

4) Соотношение равенств:

\[
b_2 + b_1 + b_3 — b_4 = -7,5;
\]

\[
2b_2 — b_1 — b_3 = -2,5;
\]

\[
b_1 q^3 — b_1 — b_1 q^2 + b_1 q^2;
\]

\[
2b_1 q — b_1 — b_1 q^2 = 3;
\]

\[
q — 1 — q^3 + q^2 = 3;
\]

\[
q — 1 — q^3 + q^2 = 6q — 3 — 3q^2;
\]

\[
q^3 — 4q^2 + 5q — 2 = 0;
\]

\[
q^3 — 3q^2 + 2q — q^2 + 3q — 2 = 0;
\]

\[
q(q^2 — 3q + 2) — (q^2 — 3q + 2) = 0;
\]

\[
(q — 1)(q^2 — 3q + 2) = 0;
\]

\[
D = 3^2 — 4 \cdot 2 \cdot 1 = 9 — 8 = 1, \, \text{тогда:}
\]

\[
q_1 = \frac{3 — 1}{2} = 1, \, q_2 = \frac{3 + 1}{2} = 2;
\]

5) Первый член прогрессии:

\[
2b_1 q — b_1 — b_1 q^2 = -2,5;
\]

\[
4b_1 — b_1 — 4b_1 = -2,5;
\]

\[
-b_1 = -2,5, \, b_1 = 2,5;
\]

6) Сумма её шести первых членов:

\[
S_6 = \frac{b_1 (q^6 — 1)}{q — 1} = \frac{2,5 (2^6 — 1)}{2 — 1} = 157,5;
\]

Ответ:

\( q = 2; \, S_6 = 157,5. \)

Задача: Рассмотрим геометрическую прогрессию:

\( b_1, \, b_2 = b_1 q, \, b_3 = b_1 q^2, \, b_4 = b_1 q^3 \);

Шаг 1: В арифметической прогрессии:

\( a_1 = b_1 — 0,5, \, a_2 = b_2 — 1; \)

\( a_3 = b_3 — 4, \, a_4 = b_4 — 12; \)

\( d = a_2 — a_1 = a_4 — a_3 = a_3 — a_2; \)

Теперь перейдем к нахождению соотношений между членами прогрессий:

Шаг 2: Из первого равенства:

\( (b_2 — 1) — (b_1 — 0,5) = (b_4 — 12) — (b_3 — 4); \)

Упростим:

\( b_2 — b_1 — 0,5 = b_4 — b_3 — 8; \)

Перепишем выражение:

\( b_2 — b_1 — b_4 + b_3 = -7,5; \)

Шаг 3: Из второго равенства:

\( (b_2 — 1) — (b_1 — 0,5) = (b_3 — 4) — (b_2 — 1); \)

Упрощаем:

\( b_2 — b_1 — 0,5 = b_3 — b_2 — 3; \)

Перепишем уравнение:

\( 2b_2 — b_1 — b_3 = -2,5; \)

Шаг 4: Соотношение равенств:

\( b_2 + b_1 + b_3 — b_4 = -7,5; \)

\( 2b_2 — b_1 — b_3 = -2,5; \)

Используем значения для \( b_1, b_2, b_3, b_4 \):

\( b_1 q^3 — b_1 — b_1 q^2 + b_1 q^2; \)

\( 2b_1 q — b_1 — b_1 q^2 = 3; \)

\( q — 1 — q^3 + q^2 = 3; \)

\( q — 1 — q^3 + q^2 = 6q — 3 — 3q^2; \)

\( q^3 — 4q^2 + 5q — 2 = 0; \)

\( q^3 — 3q^2 + 2q — q^2 + 3q — 2 = 0; \)

\( q(q^2 — 3q + 2) — (q^2 — 3q + 2) = 0; \)

\( (q — 1)(q^2 — 3q + 2) = 0; \)

Вычисляем дискриминант:

\( D = 3^2 — 4 \cdot 2 \cdot 1 = 9 — 8 = 1, \, \text{тогда:} \)

\( q_1 = \frac{3 — 1}{2 \cdot 2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}, \, q_2 = \frac{3 + 1}{2 \cdot 2} = 2; \)

Шаг 5: Первый член прогрессии:

\( 2b_1 q — b_1 — b_1 q^2 = -2,5; \)

Подставляем значения:

\( 4b_1 — b_1 — 4b_1 = -2,5; \)

\( -b_1 = -2,5, \, b_1 = 2,5; \)

Шаг 6: Сумма её шести первых членов:

\( S_6 = \frac{b_1 (q^6 — 1)}{q — 1} = \frac{2,5 (2^6 — 1)}{2 — 1} = 157,5; \)

Ответ: \( q = 2; \, S_6 = 157,5 \).