ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 4 Номер 802 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Сумма первых трёх членов возрастающей геометрической прогрессии равна 10,5, а произведение их квадратов равно 729. Найдите сумму первых семи членов этой прогрессии.

Дана геометрическая прогрессия:

\( b_1 + b_2 + b_3 = 10,5, \, b_1 b_2 b_3 = 729; \)

1) Из второго равенства:

\[
b_1^2 \cdot (b_1 \cdot q)^2 \cdot (b_1 \cdot q^2)^2 = 729;
\]

\[
b_1^6 q^6 = 729, \, b_1 q = 3, \, b_1 = \frac{3}{q};
\]

2) Из первого равенства:

\[
b_1 + b_1 \cdot q + b_1 \cdot q^2 = 10,5;
\]

\[
\frac{3}{q} + 3 + 3q = 10,5;
\]

\[
3q — 7,5 + \frac{3}{q} = 0;
\]

\[
3q^2 — 7,5q + 3 = 0;
\]

\[
6q^2 — 15q + 6 = 0;
\]

\[
2q^2 — 5q + 2 = 0, \, q > 1;
\]

\[
D = 5^2 — 4 \cdot 2 \cdot 2 = 25 — 16 = 9, \, \text{тогда:}
\]

\[
q_1 = \frac{5 — 3}{2 \cdot 2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}, \, q_2 = \frac{5 + 3}{2 \cdot 2} = 2;
\]

\[
b_1 = 3 \cdot \frac{1}{2} = 6, \, b_2 = \frac{3}{2} = 1,5;
\]

3) Сумма её семи первых членов:

\[
S_7 = \frac{b_1 (q^7 — 1)}{q — 1} = \frac{1,5 (27 — 1)}{2 — 1} = 190,5;
\]

Ответ: 190,5.

Задача: Рассмотрим геометрическую прогрессию:

\( b_1 + b_2 + b_3 = 10,5, \, b_1 b_2 b_3 = 729 \);

Шаг 1: Из второго равенства \( b_1 b_2 b_3 = 729 \):

Используем формулы для \( b_2 \) и \( b_3 \) через \( b_1 \) и \( q \):

\( b_1^2 \cdot (b_1 \cdot q)^2 \cdot (b_1 \cdot q^2)^2 = 729 \)

Преобразуем выражение:

\( b_1^6 q^6 = 729, \, b_1 q = 3, \, b_1 = \frac{3}{q} \)

Шаг 2: Из первого равенства \( b_1 + b_2 + b_3 = 10,5 \):

Подставляем значения для \( b_2 \) и \( b_3 \) через \( b_1 \) и \( q \):

\( \frac{3}{q} + 3 + 3q = 10,5 \)

Приводим уравнение к удобной форме:

\( 3q — 7,5 + \frac{3}{q} = 0 \)

Умножаем на \( q \) и упрощаем:

\( 3q^2 — 7,5q + 3 = 0 \)

Шаг 3: Решаем квадратное уравнение:

\( 6q^2 — 15q + 6 = 0 \)

Решаем уравнение для \( q \):

\( 2q^2 — 5q + 2 = 0, \, q > 1 \)

Вычисляем дискриминант:

\( D = 5^2 — 4 \cdot 2 \cdot 2 = 25 — 16 = 9 \)

Находим корни уравнения:

\( q_1 = \frac{5 — 3}{2 \cdot 2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}, \, q_2 = \frac{5 + 3}{2 \cdot 2} = 2 \)

Так как \( q > 1 \), выбираем \( q = 2 \).

Шаг 4: Теперь находим \( b_1 \):

\( b_1 = 3 \cdot \frac{1}{2} = 6, \, b_2 = \frac{3}{2} = 1,5 \)

Шаг 5: Найдем сумму её семи первых членов \( S_7 \):

\( S_7 = \frac{b_1 (q^7 — 1)}{q — 1} = \frac{1,5 (27 — 1)}{2 — 1} = 190,5 \)

Ответ: \( 190,5 \).