ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 4 Номер 801 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Сумма первых трёх членов возрастающей геометрической прогрессии равна 1,4, а их произведение равно 0,064. Найдите сумму первых пяти членов этой прогрессии.

Дана геометрическая прогрессия:

\( b_1 + b_2 + b_3 = 1,4, \, b_1 b_2 b_3 = 0,064; \)

1) Из второго равенства:

\[
b_1 \cdot (b_1 \cdot q) \cdot (b_1 \cdot q^2) = 0,064;
\]

\[
b_1^3 q^3 = 0,064, \, b_1 q = 0,4;
\]

\[
b_1 = \frac{0,4}{q};
\]

2) Из первого равенства:

\[
b_1 + b_1 \cdot q + b_1 \cdot q^2 = 1,4;
\]

\[
\frac{0,4}{q} + 0,4 + 0,4q = 1,4;
\]

\[
\frac{0,4}{q} + 0,4q — 1 + \frac{0,4}{q} = 0;
\]

\[
0,4q^2 — q + 0,4 = 0;
\]

\[
2q^2 — 5q + 2 = 0, \, q > 1;
\]

\[
D = 5^2 — 4 \cdot 2 \cdot 2 = 25 — 16 = 9, \, \text{тогда:}
\]

\[
q_1 = \frac{5 — 3}{2 \cdot 2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}, \, q_2 = \frac{5 + 3}{2 \cdot 2} = 2;
\]

\[
b_1 = 0,4 \cdot \frac{1}{2} = 0,8, \, b_2 = \frac{0,4}{2} = 0,2;
\]

3) Сумма пяти первых членов:

\[
S_5 = \frac{b_1 (q^5 — 1)}{q — 1} = \frac{0,2 (2^5 — 1)}{2 — 1} = 6,2;
\]

Ответ: 6,2.

Задача: Рассмотрим геометрическую прогрессию:

\( b_1 + b_2 + b_3 = 1,4, \, b_1 b_2 b_3 = 0,064 \);

Шаг 1: Из второго равенства \( b_1 b_2 b_3 = 0,064 \):

Мы знаем, что \( b_2 = b_1 \cdot q \) и \( b_3 = b_1 \cdot q^2 \), подставляем в уравнение:

\( b_1 \cdot (b_1 \cdot q) \cdot (b_1 \cdot q^2) = 0,064 \)

Приводим подобные члены:

\( b_1^3 q^3 = 0,064, \, b_1 q = 0,4 \)

Из этого находим:

\( b_1 = \frac{0,4}{q} \)

Шаг 2: Из первого равенства \( b_1 + b_2 + b_3 = 1,4 \):

Подставляем значения для \( b_2 \) и \( b_3 \) через \( b_1 \) и \( q \):

\( \frac{0,4}{q} + 0,4 + 0,4q = 1,4 \)

Переводим уравнение в удобную форму:

\( \frac{0,4}{q} + 0,4q — 1 + \frac{0,4}{q} = 0 \)

Упрощаем его:

\( 0,4q^2 — q + 0,4 = 0 \)

Шаг 3: Решаем квадратное уравнение:

\( 2q^2 — 5q + 2 = 0, \, q > 1 \)

Вычисляем дискриминант:

\( D = 5^2 — 4 \cdot 2 \cdot 2 = 25 — 16 = 9 \)

Теперь находим корни уравнения:

\( q_1 = \frac{5 — 3}{2 \cdot 2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}, \, q_2 = \frac{5 + 3}{2 \cdot 2} = 2 \)

Так как \( q > 1 \), то выбираем \( q = 2 \).

Шаг 4: Теперь находим \( b_1 \):

\( b_1 = 0,4 \cdot \frac{1}{2} = 0,8, \, b_2 = \frac{0,4}{2} = 0,2 \)

Шаг 5: Найдем сумму пяти первых членов \( S_5 \):

\( S_5 = \frac{b_1 (q^5 — 1)}{q — 1} = \frac{0,2 \cdot (2^5 — 1)}{2 — 1} = 6,2 \)

Ответ: \( 6,2 \).