ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 4 Номер 794 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Известно, что (b_n) — геометрическая прогрессия, в которой (b_4-b_2)/(b_3-b_1)=4 и S_4=340. Найдите сумму первых шести членов этой прогрессии.

В геометрической прогрессии:

\( b_4 — b_2 = 4, \, S_4 = 340; \, b_3 — b_1. \)

1) Из первого равенства:
\[
b_1 \cdot q^3 — b_1 \cdot q = 4; \, b_1 \cdot q^2 — b_1;
\]

\[
q(q^2 — 1) = 4, \, q = 4;
\]

2) Из второго равенства:
\[
S_4 = \frac{b_1 (q^4 — 1)}{q — 1} = 340;
\]

\[
\frac{b_1 (4^4 — 1)}{4 — 1} = 340;
\]

\[
b_1 (256 — 1) = 1020; \, 255b_1 = 1020, \, b_1 = 4;
\]

3) Сумма шести первых членов:
\[
S_6 = \frac{b_1 (q^6 — 1)}{q — 1} = \frac{4 \cdot (4^6 — 1)}{4 — 1};
\]

\[
S_6 = \frac{4 \cdot 4095}{3} = 4 \cdot 1365 = 5460;
\]

Ответ: \( 5460. \)

Шаг 1: В геометрической прогрессии заданы следующие значения:

\( b_4 — b_2 = 4 \),

\( S_4 = 340 \),

Нужно найти \( b_3 — b_1 \).

Шаг 2: Из первого равенства \( b_4 — b_2 = 4 \), имеем:

Для геометрической прогрессии выражения для \( b_4 \) и \( b_2 \) следующие:

\( b_4 = b_1 \cdot q^3 \) и \( b_2 = b_1 \cdot q \)

Тогда:

\( b_1 \cdot q^3 — b_1 \cdot q = 4 \)

Выносим \( b_1 \) за скобки:

\( b_1 (q^3 — q) = 4 \)

Распишем выражение в скобках:

\( b_1 \cdot q (q^2 — 1) = 4 \)

Отсюда находим коэффициент прогрессии \( q \):

\( q(q^2 — 1) = 4 \),

\( q = 4 \)

Шаг 3: Теперь из второго равенства \( S_4 = 340 \), используем формулу для суммы первых 4 членов геометрической прогрессии:

\( S_4 = \frac{b_1 (q^4 — 1)}{q — 1} = 340 \)

Подставляем значение \( q = 4 \):

\( S_4 = \frac{b_1 (4^4 — 1)}{4 — 1} = 340 \)

Вычисляем:

\( \frac{b_1 (256 — 1)}{3} = 340 \)

\( b_1 \cdot 255 = 1020, \, b_1 = 4 \)

Шаг 4: Теперь находим сумму первых шести членов \( S_6 \):

\( S_6 = \frac{b_1 (q^6 — 1)}{q — 1} \)

Подставляем \( b_1 = 4 \) и \( q = 4 \):

\( S_6 = \frac{4 \cdot (4^6 — 1)}{4 — 1} \)

Вычисляем:

\( S_6 = \frac{4 \cdot 4095}{3} = 4 \cdot 1365 = 5460 \)

Ответ: \( S_6 = 5460 \).