ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 4 Номер 784 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

В арифметической прогрессии (x_n) и геометрической прогрессии (b_n), все члены которых положительны, a_1=b_1=2. Найдите два последующих члена каждой прогрессии, если известно, что их вторые члены совпадают, а третий член арифметической прогрессии на 2 меньше третьего члена геометрической прогрессии.

Даны две последовательности:

\( a_1 = b_1 = 2, \, a_2 = b_2, \, a_3 = b_3 — 2. \)

1) Из второго равенства:

\[
b_2 = b_1q = 2q; \, a_2 = a_1 + d = 2 + d;
\]

\[
2q = 2 + d, \, d = 2q — 2.
\]

2) Из третьего равенства:

\[
b_3 = b_1 \cdot q^2 = 2q^2; \, a_3 = a_1 + 2d = 4q — 2;
\]

\[
4q — 2 = 2q^2 — 2;
\]

\[
2q^2 — 4q = 0;
\]

\[
2q(q — 2) = 0;
\]

\[
q = 2, \, d = 4 — 2 = 2.
\]

3) Все искомые члены:

\[
b_2 = 2 \cdot 2 = 4, \, a_2 = 2 + 2 = 4;
\]

\[
b_3 = 2 \cdot 4 = 8, \, a_3 = 2 + 4 = 6.
\]

Ответ:

\( a_2 = b_2 = 4; \, a_3 = 6; \, b_3 = 8. \)

Задача:

Даны две последовательности:

\( a_1 = b_1 = 2, \quad a_2 = b_2, \quad a_3 = b_3 — 2. \)

Шаг 1: Из второго равенства

Из второго равенства, \( b_2 = b_1 \cdot q = 2q; \) и \( a_2 = a_1 + d = 2 + d; \)

Решаем для \( d \):

\( 2q = 2 + d, \quad d = 2q — 2.
\)

Шаг 2: Из третьего равенства

Из третьего равенства, \( b_3 = b_1 \cdot q^2 = 2q^2; \) и \( a_3 = a_1 + 2d = 4q — 2; \)

Подставляем в уравнение для \( a_3 \):

\( 4q — 2 = 2q^2 — 2;
\)

Убираем -2 с обеих сторон:

\( 4q = 2q^2;
\)

Делим на 2:

\( 2q^2 — 4q = 0;
\)

Факторизуем:

\( 2q(q — 2) = 0;
\)

Решаем для \( q \):

\( q = 2, \quad d = 4 — 2 = 2.
\)

Шаг 3: Все искомые члены

Теперь подставим \( q = 2 \) и \( d = 2 \) в уравнения для \( b_2, a_2, b_3, a_3 \):

\( b_2 = 2 \cdot 2 = 4, \quad a_2 = 2 + 2 = 4;
\)

\( b_3 = 2 \cdot 4 = 8, \quad a_3 = 2 + 4 = 6.
\)

Ответ: \( a_2 = b_2 = 4; \, a_3 = 6; \, b_3 = 8.\)