ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 4 Номер 782 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Три числа, дающие в сумме 39, составляют возрастающую арифметическую прогрессию. Если из первого и второго вычесть по 1, а к третьему прибавить 5, то полученные числа составят геометрическую прогрессию. Найдите исходные числа.

Дана последовательность:

\( a_1 + a_2 + a_3 = 39. \)

1) Арифметическая прогрессия:

\[
a_2 = a_1 + d, \, a_3 = a_1 + 2d;
\]

\[
a_1 + (a_1 + d) + (a_1 + 2d) = 39;
\]

\[
3a_1 + 3d = 39, \, a_2 = a_1 + d = 13;
\]

\[
a_1 = a_2 — d = 13 — d;
\]

\[
a_3 = a_2 + d = 13 + d.
\]

2) Геометрическая прогрессия:

\[
b_1 = 12 — d, \, b_2 = 12, \, b_3 = 18 + d;
\]

\[
b_2^2 = b_1 b_3, \, 12^2 = (12 — d)(18 + d);
\]

\[
144 = 216 + 12d — 18d — d^2;
\]

\[
d^2 + 6d — 72 = 0, \, d > 1;
\]

\[
D = 6^2 + 4 \cdot 72 = 36 + 288 = 324,
\]

тогда:

\[
d_1 = \frac{-6 — 18}{2} = -12, \, d_2 = \frac{-6 + 18}{2} = 6.
\]

3) Искомые числа:

\[
a_1 = 13 — 6 = 7;
\]

\[
a_3 = 13 + 6 = 19.
\]

Ответ:

\( 7; \, 13; \, 19. \)

Дана последовательность:

\( a_1 + a_2 + a_3 = 39. \)

Шаг 1: Арифметическая прогрессия

Запишем уравнения для \( a_2 \) и \( a_3 \) через \( a_1 \) и разность \( d \):

\( a_2 = a_1 + d, \quad a_3 = a_1 + 2d;
\)

Теперь сложим эти выражения и подставим данное условие \( a_1 + a_2 + a_3 = 39 \):

\( a_1 + (a_1 + d) + (a_1 + 2d) = 39;
\)

Упростим:

\( 3a_1 + 3d = 39, \quad a_2 = a_1 + d = 13;
\)

Теперь выразим \( a_1 \) через \( d \):

\( a_1 = a_2 — d = 13 — d;
\)

Заменим \( a_3 \):

\( a_3 = a_2 + d = 13 + d.
\)

Шаг 2: Геометрическая прогрессия

Теперь рассмотрим геометрическую прогрессию:

\( b_1 = 12 — d, \quad b_2 = 12, \quad b_3 = 18 + d;
\)

Для геометрической прогрессии выполняется следующее соотношение:

\( b_2^2 = b_1 b_3, \quad 12^2 = (12 — d)(18 + d);
\)

Раскроем скобки и упростим:

\( 144 = 216 + 12d — 18d — d^2;
\)

Упростим дальше:

\( d^2 + 6d — 72 = 0, \quad d > 1;
\)

Теперь решим квадратное уравнение для \( d \):

\( D = 6^2 + 4 \cdot 72 = 36 + 288 = 324;
\)

Находим корни уравнения:

\( d_1 = \frac{-6 — 18}{2} = -12, \quad d_2 = \frac{-6 + 18}{2} = 6.
\)

Шаг 3: Искомые числа

Теперь подставим значение \( d = 6 \) в уравнения для \( a_1 \) и \( a_3 \):

\( a_1 = 13 — 6 = 7;
\)

Подставим в выражение для \( a_3 \):

\( a_3 = 13 + 6 = 19.
\)

Ответ: \( 7, 13, 19 \).