ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 4 Номер 777 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Геометрическая прогрессия состоит из 12 членов, являющихся положительными числами. Сумма первых четырёх членов равна 7680, а сумма четырёх следующих равна 480. Найдите сумму последних четырёх членов этой последовательности.

Геометрическая прогрессия:
\( S_4 = 7680, \, q > 0, \, n = 12; \)

\( b_5 + b_6 + b_7 + b_8 = 480; \)

1) Из первого равенства:

\( b_1 + b_2 + b_3 + b_4 = 7680; \)

\( b_1 + b_1q + b_1q^2 + b_1q^3 = 7680; \)

\( b_1(1 + q + q^2 + q^3) = 7680; \)

2) Из второго равенства:

\( b_1q^4 + b_1q^5 + b_1q^6 + b_1q^7 = 480; \)

\( b_1q^4 \cdot (1 + q + q^2 + q^3) = 480; \)

\( q^4 \cdot 7680 = 480, \, q^4 = \frac{1}{16}, \, q = \frac{1}{2}; \)

3) Сумма последних членов:

\( S = b_9 + b_{10} + b_{11} + b_{12}; \)

\( S = b_1q^8 + b_1q^9 + b_1q^{10} + b_1q^{11}; \)

\( S = b_1q^8 \cdot (1 + q + q^2 + q^3); \)

\( \frac{7680}{256} = 30; \)

Ответ: 30.

Задача:

Дана геометрическая прогрессия:

\( S_4 = 7680, \quad q > 0, \quad n = 12; \)

\( b_5 + b_6 + b_7 + b_8 = 480; \)

1) Из первого равенства:

Запишем уравнение для суммы первых четырех членов прогрессии \( S_4 \):

\( b_1 + b_2 + b_3 + b_4 = 7680;
\)

Подставим выражения для \( b_2 = b_1 \cdot q, b_3 = b_1 \cdot q^2, b_4 = b_1 \cdot q^3 \):

\( b_1 + b_1q + b_1q^2 + b_1q^3 = 7680;
\)

Вынесем \( b_1 \) за скобки:

\( b_1(1 + q + q^2 + q^3) = 7680;
\)

2) Из второго равенства:

Запишем уравнение для суммы членов \( b_5 + b_6 + b_7 + b_8 = 480 \):

\( b_1q^4 + b_1q^5 + b_1q^6 + b_1q^7 = 480;
\)

Вынесем \( b_1q^4 \) за скобки:

\( b_1q^4 \cdot (1 + q + q^2 + q^3) = 480;
\)

Теперь подставим \( (1 + q + q^2 + q^3) = \frac{7680}{b_1} \):

\( q^4 \cdot 7680 = 480, \quad q^4 = \frac{1}{16}, \quad q = \frac{1}{2};
\)

3) Сумма последних членов:

Запишем уравнение для суммы членов с 9 по 12:

\( S = b_9 + b_{10} + b_{11} + b_{12};
\)

Подставляем выражения для этих членов прогрессии:

\( S = b_1q^8 + b_1q^9 + b_1q^{10} + b_1q^{11};
\)

Вынесем \( b_1q^8 \) за скобки:

\( S = b_1q^8 \cdot (1 + q + q^2 + q^3);
\)

Теперь подставим значение \( q = \frac{1}{2} \):

\( \frac{7680}{256} = 30;
\)

Ответ: \( S = 30 \).