ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 4 Номер 774 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Найдите седьмой член геометрической прогрессии, если известно, что её членами являются положительные числа S_2=21, S_3=49.

В геометрической прогрессии:

\(b_1 + b_2 = 21,\)

\(b_1 + b_2 + b_3 = 49;\)

1) Из первого равенства:

\(b_1 + b_2 = b_1 + b_1 \cdot q = 21;\)

2) Из второго равенства:

\(b_1 + b_1 \cdot q + b_1 \cdot q^2 = 49;\)

\(21 + b_1 \cdot q^2 = 49;\)

\(b_1 \cdot q^2 = 28, \ b_1 = \frac{28}{q^2};\)

3) Из первого равенства:

\[
\frac{28}{q^2} \cdot (1 + q) = 21, \ q > 0;
\]

\[
\frac{28 + 28q}{q^2} = 21;
\]

\[
28 + 28q = 21q^2;
\]

\[
21q^2 — 28q — 28 = 0;
\]

\[
3q^2 — 4q — 4 = 0;
\]

\[
D = (-4)^2 — 4 \cdot 3 \cdot (-4) = 16 + 48 = 64,
\]

тогда:

\[
q_1 = \frac{-(-4) — \sqrt{64}}{2 \cdot 3} = \frac{4 — 8}{6} = -\frac{2}{3}, \quad
q_2 = \frac{4 + 8}{6} = 2;
\]

\[
b_{1,1} = \frac{28}{\left(-\frac{2}{3}\right)^2} = 63, \quad
b_{1,2} = \frac{28}{2^2} = 7;
\]

4) Седьмой член прогрессии:

\[
b_7 = b_1 \cdot q^6 = 7 \cdot 2^6 = 448;
\]

Ответ: \(448.\)

Задача:

Дана геометрическая прогрессия:

\( b_1 + b_2 = 21, \quad b_1 + b_2 + b_3 = 49; \)

Шаг 1: Из первого равенства:

\( b_1 + b_2 = b_1 + b_1 \cdot q = 21;\)

Шаг 2: Из второго равенства:

\( b_1 + b_1 \cdot q + b_1 \cdot q^2 = 49;\)

Подставим значение из первого уравнения:

\( 21 + b_1 \cdot q^2 = 49;\)

Из этого получаем:

\( b_1 \cdot q^2 = 28, \quad b_1 = \frac{28}{q^2};\)

Шаг 3: Подставим \( b_1 = \frac{28}{q^2} \) в первое уравнение:

\( \frac{28}{q^2} \cdot (1 + q) = 21, \quad q > 0;\)

Умножаем обе части на \( q^2 \):

\( 28 + 28q = 21q^2;\)

Преобразуем уравнение:

\( 21q^2 — 28q — 28 = 0;\)

Разделим на 7:

\( 3q^2 — 4q — 4 = 0;\)

Шаг 4: Рассчитываем дискриминант:

\( D = (-4)^2 — 4 \cdot 3 \cdot (-4) = 16 + 48 = 64;\)

Корни уравнения:

\( q_1 = \frac{-(-4) — \sqrt{64}}{2 \cdot 3} = \frac{4 — 8}{6} = -\frac{2}{3}, \quad
q_2 = \frac{4 + 8}{6} = 2;\)

Шаг 5: Подставляем \( q_2 = 2 \) в выражение для \( b_1 \):

\( b_{1,1} = \frac{28}{\left(-\frac{2}{3}\right)^2} = 63, \quad
b_{1,2} = \frac{28}{2^2} = 7;\)

Шаг 6: Найдем седьмой член прогрессии:

\( b_7 = b_1 \cdot q^6 = 7 \cdot 2^6 = 448;\)

Ответ: \( b_7 = 448 \).