ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 4 Номер 768 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

При каких значениях х числа

а) x, vx, x-5; б) x, v(x-8), x/36,

взятые в указанном порядке, являются тремя последовательными членами геометрической прогрессии?

Геометрическая прогрессия:

a) \(x, \ \sqrt{x}, \ x — 5;\)

\(\sqrt{x} = \sqrt{x \cdot (x — 5)};\)

\(x = x^2 — 5x;\)

\(x^2 — 6x = 0;\)

\(x(x — 6) = 0;\)

\(x_1 = 0, \ x_2 = 6;\)

Ответ: 6.

b) \(x, \ \sqrt{x — 8}, \ \frac{x}{36};\)

\(\sqrt{x — 8} = \frac{\sqrt{x}}{36};\)

\(x — 8 = \frac{x^2}{36};\)

\(36(x — 8) = x^2, \ x^2 — 36x + 288 = 0;\)

\(D = 36^2 — 4 \cdot 288 = 1296 — 1152 = 144,\) тогда:

\(x_1 = \frac{36 — 12}{2} = 12 \ \text{и} \ x_2 = \frac{36 + 12}{2} = 24;\)

Ответ: 12; 24.

Геометрическая прогрессия:

a) \( x, \ \sqrt{x}, \ x — 5; \)

Шаг 1: Задаем равенство для второго и первого члена прогрессии:
\[
\sqrt{x} = \sqrt{x \cdot (x — 5)}.
\]

Квадрат обеих частей:
\[
x = x(x — 5).
\]

Раскрываем скобки:
\[
x = x^2 — 5x.
\]

Переносим все в одну сторону:
\[
x^2 — 6x = 0.
\]

Вынесем общий множитель:
\[
x(x — 6) = 0.
\]

Решаем это уравнение:
\[
x_1 = 0, \quad x_2 = 6.
\]

Ответ: \( x = 6 \).

b) \( x, \ \sqrt{x — 8}, \ \frac{x}{36}; \)

Шаг 1: Задаем равенство для второго и первого члена прогрессии:
\[
\sqrt{x — 8} = \frac{\sqrt{x}}{36}.
\]

Квадрат обеих частей:
\[
x — 8 = \frac{x}{36}.
\]

Умножаем обе стороны на 36:
\[
36(x — 8) = x^2.
\]

Раскрываем скобки:
\[
36x — 288 = x^2.
\]

Переносим все в одну сторону:
\[
x^2 — 36x + 288 = 0.
\]

Решаем квадратное уравнение с помощью дискриминанта:
\[
D = 36^2 — 4 \cdot 288 = 1296 — 1152 = 144.
\]

Находим корни уравнения:
\[
x_1 = \frac{36 — 12}{2} = 12, \quad x_2 = \frac{36 + 12}{2} = 24.
\]

Ответ: \( x = 12, \ 24 \).