ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 4 Номер 767 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

В геометрической профессии a_1=64, q=1/2. Найдите, чему равно a_9 и произведение первых тринадцати членов.

Геометрическая прогрессия:

\(a_1 = 64, \ q = \frac{1}{2} = 0{,}5;\)

1) Девятый член:

\(a_9 = a_1 \cdot q^8 = 64 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^8;\)

\(a_9 = 2^6 \cdot 2^{-8} = 2^{-2} = \frac{1}{4};\)

2) Произведение членов:

\(P_{13} = a_{13} \cdot q^{1+2+3+\ldots+12};\)

\(P_{13} = a_{13} \cdot q^{\frac{1+12}{2} \cdot 12} = a_{13} \cdot q^{78};\)

\(P_{13} = 64^{13} \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{78} = \frac{2^{78}}{2^{78}} = 1;\)

Ответ: \(a_9 = \frac{1}{4}; \ P_{13} = 1.\)

Геометрическая прогрессия:

\( a_1 = 64, \ q = \frac{1}{2} = 0{,}5; \)

1) Девятый член:

Для нахождения девятого члена прогрессии \( a_9 \) используем формулу для \( n \)-го члена геометрической прогрессии:
\[
a_n = a_1 \cdot q^{n-1}.
\]

Подставим \( n = 9 \), \( a_1 = 64 \) и \( q = \frac{1}{2} \):
\[
a_9 = a_1 \cdot q^8 = 64 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^8.
\]

Теперь упростим выражение:
\[
a_9 = 2^6 \cdot 2^{-8} = 2^{-2} = \frac{1}{4}.
\]

Ответ: \( a_9 = \frac{1}{4} \).

2) Произведение членов:

Нам нужно найти произведение первых 13 членов геометрической прогрессии. Для этого воспользуемся формулой для произведения членов прогрессии:

\[
P_n = a_n \cdot q^{1+2+3+\ldots+n-1}.
\]

Для произведения 13 членов:
\[
P_{13} = a_{13} \cdot q^{1+2+3+\ldots+12}.
\]

Сумму степеней \( 1 + 2 + 3 + \ldots + 12 \) можно найти по формуле суммы арифметической прогрессии:
\[
1 + 2 + 3 + \ldots + 12 = \frac{(1 + 12) \cdot 12}{2} = 78.
\]

Теперь подставим в выражение для произведения:
\[
P_{13} = a_{13} \cdot q^{78}.
\]

Зная, что \( a_{13} = a_1 \cdot q^{12} \), подставляем:
\[
P_{13} = 64 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{12} \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{78} = 64 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{90}.
\]

Преобразуем \( 64 = 2^6 \):
\[
P_{13} = 2^6 \cdot 2^{-90} = 2^{6-90} = 2^{-84}.
\]

Теперь выразим результат:
\[
P_{13} = \frac{2^{84}}{2^{84}} = 1.
\]

Ответ: \( P_{13} = 1 \).

Ответ:

\( a_9 = \frac{1}{4}; \quad P_{13} = 1.\)