ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 4 Номер 759 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Найдите промежутки монотонности функции y=(x+10)/(x-5) и определите характер монотонности функции в каждом из них.

Найти промежутки монотонности:
\[
y = \frac{x + 10}{x — 5} = \frac{(x — 5) + 15}{x — 5} = 1 + \frac{15}{x — 5};
\]

1) Если \(x_2 > x_1 > 5\), тогда:

\[
x_2 — 5 > x_1 — 5 > 0;
\]

\[
\frac{15}{x_2 — 5} < \frac{15}{x_1 — 5};
\]

\[
1 + \frac{15}{x_2 — 5} < 1 + \frac{15}{x_1 — 5};
\]

2) Если \(x_2 < x_1 < 5\), тогда:
\[
x_2 — 5 < x_1 — 5 < 0;
\]

\[
\frac{15}{x_2 — 5} > \frac{15}{x_1 — 5};
\]

\[
1 + \frac{15}{x_2 — 5} > 1 + \frac{15}{x_1 — 5}.
\]

Ответ:

Убывает на \((- \infty; 5) \cup (5; +\infty).\)

Найти промежутки монотонности для функции:

\( y = \frac{x + 10}{x — 5} = \frac{(x — 5) + 15}{x — 5} = 1 + \frac{15}{x — 5}.\)

Шаг 1: Рассмотрим поведение функции на разных промежутках:

1) Если \( x_2 > x_1 > 5 \), тогда:

Так как \( x_2 > x_1 > 5 \), то:
\[
x_2 — 5 > x_1 — 5 > 0.
\]

Так как дробь с положительным знаменателем убывает при увеличении \( x \), то:
\[
\frac{15}{x_2 — 5} < \frac{15}{x_1 — 5}.
\]

И, следовательно, функция \( y \) будет убывать:
\[
1 + \frac{15}{x_2 — 5} < 1 + \frac{15}{x_1 — 5}.
\]

2) Если \( x_2 < x_1 < 5 \), тогда:

Так как \( x_2 < x_1 < 5 \), то:
\[
x_2 — 5 < x_1 — 5 < 0.
\]

Так как дробь с отрицательным знаменателем возрастает при увеличении \( x \), то:
\[
\frac{15}{x_2 — 5} > \frac{15}{x_1 — 5}.
\]

И, следовательно, функция \( y \) будет возрастать:
\[
1 + \frac{15}{x_2 — 5} > 1 + \frac{15}{x_1 — 5}.
\]

Ответ: Функция убывает на промежутке \( (-\infty; 5) \) и возрастает на промежутке \( (5; +\infty) \).