ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 4 Номер 752 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

В арифметической прогрессии, содержащей 12 членов, сумма членов равна 168. Найдите первый член и разность прогрессии, если известно, что сумма членов с чётными номерами относится к сумме членов с нечётными номерами как 13 : 15.

В арифметической прогрессии:

\( n = 12, S_n = 168, \frac{S_{2k}}{S_{2k-1}} = \frac{13}{15}; \)

1) Из второго равенства:

\[ \frac{a_2 + a_{12}}{a_1 + a_{11}} = \frac{13}{15}; \]

\[ 15(a_2 + a_{12}) = 13(a_1 + a_{11}); \]

\[ 15(a_1 + d + a_{11} + d) = 13(a_1 + a_{11}); \]

\[ 15a_1 + 15a_{11} + 30d = 13a_1 + 13a_{11}; \]

\[ 2a_1 + 2a_{11} + 30d = 0; \]

\[ a_1 + a_{11} + 15d = 0; \]

\[ a_1 + a_1 + 10d + 15d = 0; \]

\[ 2a_1 = -25d, \quad a_1 = -\frac{25}{2}d; \]

2) Из первого равенства:

\[ S_{12} = \frac{2a_1 + 11d}{2} \cdot 12 = 168; \]

\[ 6(-25d + 11d) = 168; \]

\[ -14d = 28, \quad d = -2; \]

\[ a_1 = -\frac{25}{2} \cdot (-2) = 25; \]

Ответ: \( a_1 = 25; \, d = -2. \)

Задача: Найти первый член прогрессии \( a_1 \) и разность прогрессии \( d \), используя заданные суммы и условия.

Даны:

\( n = 12, S_n = 168 \)

\( \frac{S_{2k}}{S_{2k-1}} = \frac{13}{15} \)

1. Используем второе равенство:

\( \frac{a_2 + a_{12}}{a_1 + a_{11}} = \frac{13}{15} \)

Решим для \( a_2 + a_{12} \) и \( a_1 + a_{11} \):

\( 15(a_2 + a_{12}) = 13(a_1 + a_{11}) \)

Подставляем \( a_2 = a_1 + d \) и \( a_{12} = a_1 + 11d \):

\( 15(a_1 + d + a_1 + 11d) = 13(a_1 + a_{11}) \)

Упростим выражение:

\( 15a_1 + 15a_{11} + 30d = 13a_1 + 13a_{11} \)

Теперь переходим к следующему шагу:

\( 2a_1 + 2a_{11} + 30d = 0 \)

\( a_1 + a_{11} + 15d = 0 \)

\( a_1 + a_1 + 10d + 15d = 0 \)

\( 2a_1 = -25d \), отсюда \( a_1 = -\frac{25}{2}d \)

2. Теперь используем первое равенство:

\( S_{12} = \frac{2a_1 + 11d}{2} \cdot 12 = 168 \)

Подставляем \( a_1 = -\frac{25}{2}d \):

\( 6(-25d + 11d) = 168 \)

Упростим:

\( -14d = 28 \)

\( d = -2 \)

Теперь, зная \( d = -2 \), подставим его в выражение для \( a_1 \):

\( a_1 = -\frac{25}{2} \cdot (-2) = 25 \)

Ответ: \( a_1 = 25; \, d = -2 \)