ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 4 Номер 751 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

В арифметической прогрессии (a_n) найдите a_5, если:

а) S_4=22, S_8=92; б) S_3=-39, S_7=-21.

Арифметическая прогрессия:

a) \( S_4 = 22, S_8 = 92; \)

Первое равенство:

\[ S_4 = \frac{2a_1 + 3d}{2} \cdot 4 = 22; \]

\[ 2(2a_1 + 3d) = 22; \]

\[ 2a_1 + 3d = 11; \]

\[ 2a_1 = 11 — 3d; \]

\[ a_1 = \frac{11 — 3d}{2}; \]

Второе равенство:
\[ S_8 = \frac{2a_1 + 7d}{2} \cdot 8 = 92; \]

\[ 4(11 — 3d + 7d) = 92; \]

\[ 11 + 4d = 23; \]

\[ 4d = 12, \quad d = 3; \]

\[ a_1 = \frac{11 — 3 \cdot 3}{2} = 1; \]

\[ a_5 = 1 + 3 \cdot 4 = 13; \]

Ответ: \( 13. \)

b) \( S_3 = -39, S_7 = -21; \)

Первое равенство:
\[ S_3 = \frac{2a_1 + 2d}{2} \cdot 3 = -39; \]

\[ a_1 + d = -13; \]

\[ a_1 = -d — 13; \]

Второе равенство:
\[ S_7 = \frac{2a_1 + 6d}{2} \cdot 7 = -21; \]

\[ a_1 + 3d = -3; \]

\[ -d — 13 + 3d = -3; \]

\[ 2d = 10, \quad d = 5; \]

\[ a_1 = -5 — 13 = -18; \]

\[ a_5 = -18 + 5 \cdot 4 = 2; \]

Ответ: \( 2. \)

Задача: Найти 5-й член арифметической прогрессии по заданным условиям для каждой из частей.

a) \( S_4 = 22, S_8 = 92 \)

1. Используем формулу для суммы первых 4-х членов прогрессии \( S_4 \):

\( S_4 = \frac{2a_1 + 3d}{2} \cdot 4 = 22 \)

Умножим обе части на 2:

\( 2(2a_1 + 3d) = 22 \)

\( 2a_1 + 3d = 11 \)

2. Выразим \( a_1 \) через \( d \):

\( 2a_1 = 11 — 3d \)

\( a_1 = \frac{11 — 3d}{2} \)

3. Теперь используем формулу для суммы первых 8-ми членов прогрессии \( S_8 \):

\( S_8 = \frac{2a_1 + 7d}{2} \cdot 8 = 92 \)

Умножим обе части на 2:

\( 4(11 — 3d + 7d) = 92 \)

\( 11 + 4d = 23 \)

4. Решим для \( d \):

\( 4d = 12 \), \( d = 3 \)

5. Подставим \( d = 3 \) в выражение для \( a_1 \):

\( a_1 = \frac{11 — 3 \cdot 3}{2} = 1 \)

6. Теперь найдем 5-й член прогрессии \( a_5 \):

\( a_5 = a_1 + 4d = 1 + 3 \cdot 4 = 13 \)

Ответ: \( a_5 = 13 \)

b) \( S_3 = -39, S_7 = -21 \)

1. Используем формулу для суммы первых 3-х членов прогрессии \( S_3 \):

\( S_3 = \frac{2a_1 + 2d}{2} \cdot 3 = -39 \)

Умножим обе части на 2:

\( a_1 + d = -13 \)

2. Выразим \( a_1 \) через \( d \):

\( a_1 = -d — 13 \)

3. Теперь используем формулу для суммы первых 7-ми членов прогрессии \( S_7 \):

\( S_7 = \frac{2a_1 + 6d}{2} \cdot 7 = -21 \)

Умножим обе части на 2:

\( a_1 + 3d = -3 \)

4. Подставим \( a_1 = -d — 13 \) в уравнение:

\( -d — 13 + 3d = -3 \)

\( 2d = 10 \), \( d = 5 \)

5. Подставим \( d = 5 \) в выражение для \( a_1 \):

\( a_1 = -5 — 13 = -18 \)

6. Теперь найдем 5-й член прогрессии \( a_5 \):

\( a_5 = a_1 + 4d = -18 + 5 \cdot 4 = 2 \)

Ответ: \( a_5 = 2 \)