ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 4 Номер 750 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

В арифметической прогрессии (a_n) найдите а_1 и d, если:

а) a_3/a_6=2, S_8=72; б) a_6/a_3=1,5, S_6=156.

Арифметическая прогрессия:

a)

\(\frac{a_3}{a_6} = 2, S_8 = 72;\)

\[ a_1 + 2d, \quad a_1 + 5d = 2; \]

\[ a_1 + 2d = 2(a_1 + 5d); \]

\[ a_1 + 2d = 2a_1 + 10d; \]

\[ a_1 = 2d — 10d = -8d; \]

\[ S_8 = \frac{2a_1 + 7d}{2} \cdot 8 = 72; \]

\[ 4(-16d + 7d) = 72; \]

\[ -9d = 18, \quad d = -2; \]

\[ a_1 = -8 \cdot (-2) = 16; \]

Ответ: \( a_1 = 16; \, d = -2. \)

b)

\(\frac{a_6}{a_3} = 1,5, S_6 = 156;\)

\[ a_1 + 5d, \quad a_1 + 2d = 1,5; \]

\[ a_1 + 5d = 1,5(a_1 + 2d); \]

\[ a_1 + 5d = 1,5a_1 + 3d; \]

\[ 0,5a_1 = 2d, \quad a_1 = 4d; \]

\[ S_6 = \frac{2a_1 + 5d}{2} \cdot 6 = 156; \]

\[ 3(8d + 5d) = 156; \]

\[ 13d = 52, \quad d = 4; \]

\[ a_1 = 4 \cdot 4 = 16; \]

Ответ: \( a_1 = 16; \, d = 4. \)

Задача: Найти первый член и разность арифметической прогрессии по заданным условиям.

a) \( \frac{a_3}{a_6} = 2, S_8 = 72 \)

Даны следующие уравнения для арифметической прогрессии:

\( a_1 + 2d, \quad a_1 + 5d = 2 \)

1. Из уравнения для \( a_3 \) и \( a_6 \):

\( a_1 + 2d = 2(a_1 + 5d) \)

Раскроем скобки:

\( a_1 + 2d = 2a_1 + 10d \)

Переносим все переменные на одну сторону:

\( a_1 = -8d \)

2. Теперь используем формулу для суммы \( S_8 \) первых 8 членов:

\( S_8 = \frac{2a_1 + 7d}{2} \cdot 8 = 72 \)

Подставим значение \( a_1 = -8d \):

\( 4(-16d + 7d) = 72 \)

Упростим уравнение:

\( -9d = 18, \quad d = -2 \)

3. Теперь, зная разность \( d \), находим \( a_1 \):

\( a_1 = -8 \cdot (-2) = 16 \)

Ответ: \( a_1 = 16; \, d = -2 \)

b) \( \frac{a_6}{a_3} = 1,5, S_6 = 156 \)

Даны следующие уравнения для арифметической прогрессии:

\( a_1 + 5d, \quad a_1 + 2d = 1,5 \)

1. Из уравнения для \( a_6 \) и \( a_3 \):

\( a_1 + 5d = 1,5(a_1 + 2d) \)

Раскроем скобки:

\( a_1 + 5d = 1,5a_1 + 3d \)

Переносим все переменные на одну сторону:

\( 0,5a_1 = 2d, \quad a_1 = 4d \)

2. Теперь используем формулу для суммы \( S_6 \) первых 6 членов:

\( S_6 = \frac{2a_1 + 5d}{2} \cdot 6 = 156 \)

Подставим значение \( a_1 = 4d \):

\( 3(8d + 5d) = 156 \)

Упростим уравнение:

\( 13d = 52, \quad d = 4 \)

3. Теперь, зная разность \( d \), находим \( a_1 \):

\( a_1 = 4 \cdot 4 = 16 \)

Ответ: \( a_1 = 16; \, d = 4 \)