ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 4 Номер 725 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Сумма первых трёх членов убывающей арифметической прогрессии равна 9, а сумма их квадратов равна 99. Найдите пятый член прогрессии.

Арифметическая прогрессия:

\( a_1 + a_2 + a_3 = 9, \, d < 0; \)

\( a_1^2 + a_2^2 + a_3^2 = 99; \)

1) Первое равенство:

\( a_1 + a_1 + d + a_1 + 2d = 9; \)

\( 3a_1 + 3d = 9, \, a_1 + d = 3; \)

\( a_1 = 3 — d; \)

2) Второе равенство:

\( a_1^2 + (a_1 + d)^2 + (a_1 + 2d)^2 = 99; \)

\( (3 — d)^2 + 3^2 + (3 + d)^2 = 99; \)

\( 9 — 6d + d^2 + 9 + 6d + d^2 = 90; \)

\( 2d^2 = 72, \, d^2 = 36, \, d = -6; \)

\( a_1 = 3 + 6 = 9; \)

3) Пятый член прогрессии:

\( a_5 = a_1 + 4d = 9 — 24 = -15; \)

Ответ: \(-15.\)

Дана арифметическая прогрессия:

\( a_1 + a_2 + a_3 = 9, \, d < 0; \)

\( a_1^2 + a_2^2 + a_3^2 = 99; \)

1) Первое равенство:

Используем формулу для членов арифметической прогрессии:

\( a_2 = a_1 + d \), \( a_3 = a_1 + 2d \).

Подставляем эти выражения в первое равенство \( a_1 + a_2 + a_3 = 9 \):

\( a_1 + (a_1 + d) + (a_1 + 2d) = 9 \).

Упростим:

\( 3a_1 + 3d = 9 \), следовательно:

\( a_1 + d = 3 \).

Отсюда:

\( a_1 = 3 — d \).

Ответ: \( a_1 = 3 — d \).

2) Второе равенство:

Используем второе равенство \( a_1^2 + a_2^2 + a_3^2 = 99 \), подставляя значения для \( a_1 \), \( a_2 \), и \( a_3 \):

\( a_1^2 + (a_1 + d)^2 + (a_1 + 2d)^2 = 99 \)

Подставляем \( a_1 = 3 — d \), \( a_2 = 3 \), \( a_3 = 3 + d \) в это выражение:

\( (3 — d)^2 + 3^2 + (3 + d)^2 = 99 \).

Теперь раскрываем скобки:

\( (9 — 6d + d^2) + 9 + (9 + 6d + d^2) = 99 \).

Упрощаем:

\( 9 — 6d + d^2 + 9 + 6d + d^2 = 90 \).

Далее:

\( 2d^2 = 72 \), следовательно:

\( d^2 = 36 \), и \( d = -6 \) (так как \( d < 0 \)).

Теперь находим \( a_1 \):

\( a_1 = 3 + 6 = 9 \).

Ответ: \( a_1 = 9, d = -6 \).

3) Пятый член прогрессии:

Теперь, зная \( a_1 = 9 \) и \( d = -6 \), найдем пятый член прогрессии \( a_5 \):

Используем формулу для общего члена арифметической прогрессии:

\( a_5 = a_1 + 4d = 9 + 4 \cdot (-6) = 9 — 24 = -15 \).

Ответ: \( a_5 = -15 \).