ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 4 Номер 716 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Число 17 встречается в каждой из арифметических прогрессий (a_n) и (b_n):

5, 8, 11, 14, 17, …, a_n, …; 9, 17, 25, 33, …, b_n, … .

Укажите следующий член, который встречается в обеих прогрессиях, и его номер в каждой из них.

Арифметические прогрессии:

\( 5; 8; 11; 14; 17; \ldots; a_n; \ldots; \)

\( 9; 17; 25; 33; \ldots; b_n; \ldots; \)

1) Последовательность \( a_n \):

\( a_1 = 5, \quad a_2 = 8, \quad d = 8 — 5 = 3; \)

\( a_n = 5 + 3 \cdot (n — 1) = 3n + 2; \)

2) Последовательность \( b_n \):

\( b_1 = 9, \quad b_2 = 17, \quad d = 17 — 9 = 8; \)

\( b_n = 9 + 8 \cdot (n — 1) = 8n + 1; \)

3) Общий член:
\( 3n + 2 = 8k + 1; \)

\( 3n — 9k + k = -1; \)

\( 3(n — 3k) + k = -1; \)

\( 3m + k = -1, \quad m = n — 3k; \)

\( k = -1 — 3m, \quad n = m + 3k; \)

\( k = -1 + 6 = 5; \)

\( n = -2 + 15 = 13; \)

4) Искомые члены:
\( a_{13} = 39 + 2 = 41; \)

\( b_5 = 40 + 1 = 41; \)

Ответ: \( a_{13} = b_5 = 41. \)

Арифметические прогрессии:

Первая последовательность: \( 5; 8; 11; 14; 17; \ldots; a_n; \ldots; \)

Вторая последовательность: \( 9; 17; 25; 33; \ldots; b_n; \ldots; \)

1) Последовательность \( a_n \):

Для последовательности \( a_n \) известно, что:

\( a_1 = 5 \), \( a_2 = 8 \), разность \( d = 8 — 5 = 3 \).

Общий вид члена прогрессии:

\( a_n = a_1 + d(n — 1) = 5 + 3 \cdot (n — 1) = 3n + 2 \).

2) Последовательность \( b_n \):

Для последовательности \( b_n \) известно, что:

\( b_1 = 9 \), \( b_2 = 17 \), разность \( d = 17 — 9 = 8 \).

Общий вид члена прогрессии:

\( b_n = b_1 + d(n — 1) = 9 + 8 \cdot (n — 1) = 8n + 1 \).

3) Общий член:

Нам нужно найти, при каком \( n \) и \( k \) \( a_n = b_k \), т.е. решить уравнение:

\( 3n + 2 = 8k + 1 \)

Переносим все слагаемые на одну сторону:

\( 3n — 9k + k = -1 \).

Преобразуем:

\( 3(n — 3k) + k = -1 \).

Теперь подставляем \( m = n — 3k \), получаем:

\( 3m + k = -1 \).

Решаем для \( k \):

\( k = -1 — 3m \).

Теперь выражаем \( n \) через \( m \):

\( n = m + 3k \).

Подставляем значение \( k = -1 + 6 = 5 \), получаем:

\( n = -2 + 15 = 13 \).

4) Искомые члены:

Теперь находим искомые члены:

\( a_{13} = 3 \cdot 13 + 2 = 39 + 2 = 41 \).

\( b_5 = 8 \cdot 5 + 1 = 40 + 1 = 41 \).

Ответ: \( a_{13} = b_5 = 41 \).