ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 4 Номер 708 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

В плоскости проведено n различных окружностей так, что каждые две из них пересекаются в двух точках и никакие три из них не имеют обшей точки. Докажите, что окружности разбивают плоскость на n(n-1)+2 частей.

Каждая \(n\)-ая прямая проходит через \(2n — 2\) частей плоскости и разбивает их на 2 части, то есть добавляет \(2n — 2\) новых частей:

1) Если \(n = 1\), тогда:
\[
1 \cdot (1 — 1) + 2 = 0 + 2 = 2;
\]

2) Если \(n = k + 1\), тогда:

\[
N_{k+1} — N_k = (k + 1)k + 2 — k(k — 1) — 2;
\]

\[
N_{k+1} — N_k = k^2 + k — k^2 + k = 2k = 2n — 2;
\]

Что и требовалось доказать.

Каждая \( n \)-ая прямая проходит через \( 2n — 2 \) частей плоскости и разбивает их на 2 части, то есть добавляет \( 2n — 2 \) новых частей:

1) Если \( n = 1 \), тогда:

Подставим \( n = 1 \) в выражение:
\[
1 \cdot (1 — 1) + 2 = 0 + 2 = 2.
\]

Это означает, что для \( n = 1 \) плоскость делится на 2 части, что соответствует ожидаемому результату.

2) Если \( n = k + 1 \), тогда:

Рассмотрим разницу между количеством частей для \( n = k + 1 \) и \( n = k \). Подставляем значения для \( N_{k+1} \) и \( N_k \):
\[
N_{k+1} — N_k = (k + 1)k + 2 — k(k — 1) — 2.
\]

Раскрываем выражения:
\[
N_{k+1} — N_k = k^2 + k + 2 — k^2 + k — 2.
\]

Упрощаем выражение:
\[
N_{k+1} — N_k = k^2 + k — k^2 + k = 2k = 2n — 2.
\]

Это доказывает, что разница между количеством частей для \( n = k + 1 \) и \( n = k \) равна \( 2k \), что соответствует добавлению \( 2n — 2 \) новых частей.

Ответ: Мы доказали, что каждая \( n \)-ая прямая добавляет \( 2n — 2 \) новых частей, что и требовалось доказать.