ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 4 Номер 647 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Последовательность задана формулой a_n=n(n+4). Является ли указанное число членом последовательности и если да, то каков его номер: а) 30; б) 45; в) 77; г) 140?

Задано последовательность:

\[
a_n = n(n + 4)
\]

а) \( a_n = 30 \):

\[
n(n + 4) = 30
\]

\[
n^2 + 4n — 30 = 0
\]

\[
D = 4^2 + 4 \cdot 30 = 16 + 120 = 136
\]

\[
n = \frac{-4 \pm \sqrt{136}}{2} = \frac{-4 \pm 2\sqrt{34}}{2} = -2 \pm \sqrt{34}
\]

Ответ: нет.

б) \( a_n = 45 \):

\[
n(n + 4) = 45
\]

\[
n^2 + 4n — 45 = 0
\]

\[
D = 4^2 + 4 \cdot 45 = 16 + 180 = 196
\]

\[
n_1 = \frac{-4 — 14}{2} = -9 \quad \text{и} \quad n_2 = \frac{-4 + 14}{2} = 5
\]

Ответ: 5.

в) \( a_n = 77 \):

\[
n(n + 4) = 77
\]

\[
n^2 + 4n — 77 = 0
\]

\[
D = 4^2 + 4 \cdot 77 = 16 + 308 = 324
\]

\[
n_1 = \frac{-4 — 18}{2} = -11 \quad \text{и} \quad n_2 = \frac{-4 + 18}{2} = 7
\]

Ответ: 7.

г) \( a_n = 140 \):

\[
n(n + 4) = 140
\]

\[
n^2 + 4n — 140 = 0
\]

\[
D = 4^2 + 4 \cdot 140 = 16 + 560 = 576
\]

\[
n_1 = \frac{-4 — 24}{2} = -14 \quad \text{и} \quad n_2 = \frac{-4 + 24}{2} = 10
\]

Ответ: 10.

Задана последовательность:

\[
a_n = n(n + 4)
\]

а) \( a_n = 30 \):

Для \( a_n = 30 \) подставим в уравнение:

Подставляем \( a_n = 30 \) в формулу \( n(n + 4) = 30 \), получаем:
\[
n(n + 4) = 30
\]

Раскрываем скобки и приводим к квадратному уравнению:
\[
n^2 + 4n — 30 = 0
\]

Вычисляем дискриминант \( D \) по формуле \( D = b^2 — 4ac \):
\[
D = 4^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-30) = 16 + 120 = 136
\]

Решаем квадратное уравнение с помощью формулы корней:
\[
n = \frac{-4 \pm \sqrt{136}}{2}
\]
Упростим:
\[
n = \frac{-4 \pm 2\sqrt{34}}{2} = -2 \pm \sqrt{34}
\]
Корни не являются целыми числами, следовательно, решения нет.

Ответ: нет.

б) \( a_n = 45 \):

Для \( a_n = 45 \) подставим в уравнение:

Подставляем \( a_n = 45 \) в формулу \( n(n + 4) = 45 \), получаем:
\[
n(n + 4) = 45
\]

Раскрываем скобки и приводим к квадратному уравнению:
\[
n^2 + 4n — 45 = 0
\]

Вычисляем дискриминант \( D \) по формуле \( D = b^2 — 4ac \):
\[
D = 4^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-45) = 16 + 180 = 196
\]

Решаем квадратное уравнение с помощью формулы корней:
\[
n_1 = \frac{-4 — \sqrt{196}}{2} = \frac{-4 — 14}{2} = -9
\]
\[
n_2 = \frac{-4 + \sqrt{196}}{2} = \frac{-4 + 14}{2} = 5
\]
Положительный корень \( n_2 = 5 \) является решением.

Ответ: 5.

в) \( a_n = 77 \):

Для \( a_n = 77 \) подставим в уравнение:

Подставляем \( a_n = 77 \) в формулу \( n(n + 4) = 77 \), получаем:
\[
n(n + 4) = 77
\]

Раскрываем скобки и приводим к квадратному уравнению:
\[
n^2 + 4n — 77 = 0
\]

Вычисляем дискриминант \( D \) по формуле \( D = b^2 — 4ac \):
\[
D = 4^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-77) = 16 + 308 = 324
\]

Решаем квадратное уравнение с помощью формулы корней:
\[
n_1 = \frac{-4 — \sqrt{324}}{2} = \frac{-4 — 18}{2} = -11
\]
\[
n_2 = \frac{-4 + \sqrt{324}}{2} = \frac{-4 + 18}{2} = 7
\]
Положительный корень \( n_2 = 7 \) является решением.

Ответ: 7.

г) \( a_n = 140 \):

Для \( a_n = 140 \) подставим в уравнение:

Подставляем \( a_n = 140 \) в формулу \( n(n + 4) = 140 \), получаем:
\[
n(n + 4) = 140
\]

Раскрываем скобки и приводим к квадратному уравнению:
\[
n^2 + 4n — 140 = 0
\]

Вычисляем дискриминант \( D \) по формуле \( D = b^2 — 4ac \):
\[
D = 4^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-140) = 16 + 560 = 576
\]

Решаем квадратное уравнение с помощью формулы корней:
\[
n_1 = \frac{-4 — \sqrt{576}}{2} = \frac{-4 — 24}{2} = -14
\]
\[
n_2 = \frac{-4 + \sqrt{576}}{2} = \frac{-4 + 24}{2} = 10
\]
Положительный корень \( n_2 = 10 \) является решением.

Ответ: 10.