ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 3 Номер 626 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Один велосипедист выехал из пункта A в пункт В, и в то же время другой велосипедист выехал из пункта В в пункт A. Велосипедисты встретились через 3 ч после начала движения. В конечный пункт первый велосипедист прибыл на 2,5 ч позже, чем второй. Найдите скорости велосипедистов, если расстояние между пунктами A и В равно 90 км.

Зададим переменные:

\(x\) км/ч — скорость первого;

\(y\) км/ч — скорость второго;

1) Первое уравнение:

\[
3x + 3y = 90, \quad x + y = 30, \quad y = 30 — x;
\]

2) Второе уравнение:

\[
\frac{90}{x} = \frac{90}{y} + 2,5;
\]

\[
\frac{90}{x} = \frac{90}{30 — x} + \frac{5}{2};
\]

\[
36(30 — x) = 36x + x(30 — x);
\]

\[
1080 — 36x = 36x + 30x — x^2;
\]

\[
x^2 — 102x + 1080 = 0;
\]

\[
D = 102^2 — 4 \cdot 1080 = 10404 — 4320 = 6084, \quad \text{тогда:}
\]

\[
x_1 = \frac{102 — 78}{2} = 12, \quad x_2 = \frac{102 + 78}{2} = 90;
\]

\[
y_1 = 30 — 12 = 18, \quad y_2 = 30 — 90 = -60;
\]

Ответ:

\(12 \, \text{км/ч и } 18 \, \text{км/ч}.\)

Задача:

Зададим переменные:

\(x\) км/ч — скорость первого;

\(y\) км/ч — скорость второго;

Шаг 1: Рассмотрим первое уравнение системы:

Итак, у нас есть уравнение:

\[
3x + 3y = 90
\]

Мы можем упростить его, разделив обе части на 3:

\[
x + y = 30
\]

Теперь, из этого уравнения можно выразить \(y\) через \(x\):

\[
y = 30 — x
\]

Шаг 2: Рассмотрим второе уравнение системы:

Второе уравнение имеет вид:

\[
\frac{90}{x} = \frac{90}{y} + 2,5
\]

Заменим \(y\) на \(30 — x\), полученное из первого уравнения:

\[
\frac{90}{x} = \frac{90}{30 — x} + \frac{5}{2}
\]

Умножим обе части уравнения на 2, чтобы избавиться от дроби:

\[
2 \cdot \frac{90}{x} = 2 \cdot \frac{90}{30 — x} + 5
\]

Упростим выражения:

\[
\frac{180}{x} = \frac{180}{30 — x} + 5
\]

Теперь избавимся от дробей, умножив обе части на \(x(30 — x)\):

\[
180(30 — x) = 180x + 5x(30 — x)
\]

Раскроем скобки:

\[
5400 — 180x = 180x + 150x — 5x^2
\]

Преобразуем уравнение:

\[
5400 — 180x = 330x — 5x^2
\]

Прекинем все на одну сторону и упростим:

\[
5x^2 — 510x + 5400 = 0
\]

Теперь решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

\[
D = (-510)^2 — 4 \cdot 5 \cdot 5400 = 260100 — 108000 = 152100
\]

Корни уравнения:

\[
x_1 = \frac{510 — \sqrt{152100}}{10} = \frac{510 — 390}{10} = 12, \quad x_2 =\]

\[\frac{510 + \sqrt{152100}}{10} = \frac{510 + 390}{10} = 90
\]

Шаг 3: Теперь найдём значения \(y\) для каждого значения \(x\):

Для \(x_1 = 12\):

\[
y_1 = 30 — 12 = 18
\]

Для \(x_2 = 90\):

\[
y_2 = 30 — 90 = -60
\]

Ответ:

Решения системы уравнений:

\((x_1, y_1) = (12, 18)\), \((x_2, y_2) = (90, -60)\).