ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 3 Номер 624 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Два каменщика, работая вместе, могут выполнить некоторую работу за 6 ч. Если бы один из них выполнил 2/3 всей работы, а потом второй закончил бы работу, то им понадобилось бы 12 ч. За сколько часов каждый каменщик мог бы один выполнить всю работу?

Зададим переменные:

\(x\) ч — требуется первому;

\(y\) ч — требуется второму;

1) Второе уравнение:

\[
\frac{2}{5}x + \frac{3}{5}y = 12, \quad 2x + 3y = 60;
\]

\[
3y = 60 — 2x, \quad y = 20 — \frac{2}{3}x;
\]

2) Первое уравнение:

\[
\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{6}, \quad 6y + 6x = xy;
\]

\[
6 \left(20 — \frac{2}{3}x\right) + 6x = x \left(20 — \frac{2}{3}x\right);
\]

\[
120 — 4x + 6x = 20x — \frac{2}{3}x^2;
\]

\[
\frac{2}{3}x^2 — 18x + 120 = 0;
\]

\[
x^2 — 27x + 180 = 0;
\]

\[
D = 27^2 — 4 \cdot 180 = 729 — 720 = 9, \quad \text{тогда:}
\]

\[
x_1 = \frac{27 — 3}{2} = 12, \quad x_2 = \frac{27 + 3}{2} = 15;
\]

\[
y_1 = 20 — 8 = 12, \quad y_2 = 20 — 10 = 10;
\]

Ответ:

\(12 \, \text{ч и } 12 \, \text{ч}; \, 15 \, \text{ч и } 10 \, \text{ч}.\)

Задача:

Зададим переменные:

\(x\) ч — требуется первому;

\(y\) ч — требуется второму;

Шаг 1: Рассматриваем второе уравнение:

\[
\frac{2}{5}x + \frac{3}{5}y = 12, \quad 2x + 3y = 60;
\]

\[
3y = 60 — 2x, \quad y = 20 — \frac{2}{3}x;
\]

Шаг 2: Рассматриваем первое уравнение:

\[
\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{6}, \quad 6y + 6x = xy;
\]

\[
6 \left(20 — \frac{2}{3}x\right) + 6x = x \left(20 — \frac{2}{3}x\right);
\]

\[
120 — 4x + 6x = 20x — \frac{2}{3}x^2;
\]

\[
\frac{2}{3}x^2 — 18x + 120 = 0;
\]

\[
x^2 — 27x + 180 = 0;
\]

Шаг 3: Находим дискриминант:

\[
D = 27^2 — 4 \cdot 180 = 729 — 720 = 9, \quad \text{тогда:}
\]

Шаг 4: Находим корни:

\[
x_1 = \frac{27 — 3}{2} = 12, \quad x_2 = \frac{27 + 3}{2} = 15;
\]

Шаг 5: Подставляем найденные значения \(x\) в уравнение для \(y\):

\[
y_1 = 20 — 8 = 12, \quad y_2 = 20 — 10 = 10;
\]

Ответ:

\(12 \, \text{ч и } 12 \, \text{ч}; \, 15 \, \text{ч и } 10 \, \text{ч}.\)