ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 3 Номер 623 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

В прямоугольный треугольник вписан квадрат со стороной 2 см так. что одна его вершина совпадает с вершиной прямого угла, а остальные лежат по одной на каждой из сторон. Найдите катеты треугольника, если один из них больше другого на 3 см.

Пусть \(x\) см — меньший катет \(\triangle ABC\):

1) В треугольнике \(\triangle ABC\):
\[
BC = x + 3;
\]

2) Рассмотрим \(\triangle ADE\) и \(\triangle ABC\):

\[
\angle BCA = \angle EDA, \quad \angle CAB = \angle DAE;
\]

\[
\triangle ADE \sim \triangle ABC, \quad \frac{DE}{BC} = \frac{AD}{AC};
\]

\[
\frac{2}{x + 3} = \frac{x — 2}{x};
\]

\[
2x = (x + 3)(x — 2);
\]

\[
2x = x^2 — 2x + 3x — 6;
\]

\[
x^2 — x — 6 = 0;
\]

\[
D = 1^2 + 4 \cdot 6 = 1 + 24 = 25, \quad \text{тогда:}
\]

\[
x_1 = \frac{-1 — 5}{2} = -2, \quad x_2 = \frac{-1 + 5}{2} = 3;
\]

\[
BC = -2 + 3 = 1 \quad \text{и} \quad BC = 3 + 3 = 6;
\]

Ответ:

\(3 \, \text{см}; \, 6 \, \text{см}.\)

Задача:

Пусть \(x\) см — меньший катет \(\triangle ABC\):

Шаг 1: В треугольнике \(\triangle ABC\):

\[
BC = x + 3;
\]

Шаг 2: Рассмотрим \(\triangle ADE\) и \(\triangle ABC\):

\[
\angle BCA = \angle EDA, \quad \angle CAB = \angle DAE;
\]

\[
\triangle ADE \sim \triangle ABC, \quad \frac{DE}{BC} = \frac{AD}{AC};
\]

Шаг 3: Подставляем значения в пропорцию:

\[
\frac{2}{x + 3} = \frac{x — 2}{x};
\]

Шаг 4: Умножаем обе части на \(x(x + 3)\):

\[
2x = (x + 3)(x — 2);
\]

Шаг 5: Раскрываем скобки и упрощаем:

\[
2x = x^2 — 2x + 3x — 6;
\]

\[
x^2 — x — 6 = 0;
\]

Шаг 6: Находим дискриминант:

\[
D = 1^2 + 4 \cdot 6 = 1 + 24 = 25, \quad \text{тогда:}
\]

Шаг 7: Находим корни уравнения:

\[
x_1 = \frac{-1 — 5}{2} = -2, \quad x_2 = \frac{-1 + 5}{2} = 3;
\]

Шаг 8: Находим значение \(BC\):

\[
BC = -2 + 3 = 1 \quad \text{и} \quad BC = 3 + 3 = 6;
\]

Ответ:

\(3 \, \text{см}; \, 6 \, \text{см}.\)