ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 3 Номер 622 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

В равнобедренный треугольник вписан ромб так, что одна его сторона лежит на основании, а другая — на боковой стороне треугольника. Сторона ромба равна 10 см, а периметр треугольника равен 75 см. Найдите стороны треугольника.

Пусть \(x\) см — боковая сторона \(\triangle ABC\):

\[
AB + BC + AC = 75;
x + x + AC = 75;
AC = 75 — 2x;
\]

2) Рассмотрим \(\triangle DBE\) и \(\triangle ABC\):
\[
\angle CAB = \angle EDB, \quad \angle ABC = \angle DBE;
\]

\[
\triangle DBE \sim \triangle ABC, \quad \frac{BD}{AB} = \frac{DE}{AC};
\]

\[
\frac{x — 10}{x} = \frac{10}{75 — 2x};
\]

\[
(75 — 2x)(x — 10) = 10x;
\]

\[
75x — 750 — 2x^2 + 20x = 10x;
\]

\[
2x^2 — 85x + 750 = 0;
\]

\[
D = 85^2 — 4 \cdot 2 \cdot 750 = 7225 — 6000 = 1225, \quad \text{тогда:}
\]

\[
x_1 = \frac{85 — 35}{2 \cdot 2} = \frac{50}{4} = 12,5, \quad x_2 = \frac{85 + 35}{2 \cdot 2} = 30;
\]

\[
AC = 75 — 25 = 50 \quad \text{и} \quad AC = 75 — 60 = 15;
\]

Ответ:

\(15 \, \text{см}; \, 30 \, \text{см}; \, 30 \, \text{см}.\)

Задача:

Пусть \(x\) см — боковая сторона \(\triangle ABC\):

\[
AB + BC + AC = 75;
\]

\[
x + x + AC = 75;
\]

\[
AC = 75 — 2x;
\]

Шаг 1: Рассмотрим \(\triangle DBE\) и \(\triangle ABC\):

\[
\angle CAB = \angle EDB, \quad \angle ABC = \angle DBE;
\]

\[
\triangle DBE \sim \triangle ABC, \quad \frac{BD}{AB} = \frac{DE}{AC};
\]

Шаг 2: Подставим значения в пропорцию:

\[
\frac{x — 10}{x} = \frac{10}{75 — 2x};
\]

Шаг 3: Умножаем обе части на \( (75 — 2x)(x) \):

\[
(75 — 2x)(x — 10) = 10x;
\]

Шаг 4: Раскрываем скобки и упрощаем:

\[
75x — 750 — 2x^2 + 20x = 10x;
\]

\[
2x^2 — 85x + 750 = 0;
\]

Шаг 5: Находим дискриминант:

\[
D = 85^2 — 4 \cdot 2 \cdot 750 = 7225 — 6000 = 1225, \quad \text{тогда:}
\]

Шаг 6: Находим корни уравнения:

\[
x_1 = \frac{85 — 35}{2 \cdot 2} = \frac{50}{4} = 12,5, \quad x_2 = \frac{85 + 35}{2 \cdot 2} = 30;
\]

Шаг 7: Находим значения для \(AC\):

\[
AC = 75 — 25 = 50 \quad \text{и} \quad AC = 75 — 60 = 15;
\]

Ответ:

\(15 \, \text{см}; \, 30 \, \text{см}; \, 30 \, \text{см}.\)